procesy stochastyczne

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 16 lis 2015, o 16:45

Uzasadnij, że jeśli\(\displaystyle{ EX^{2}_{t}<+ \infty}\) dla \(\displaystyle{ t \in T}\) to funkcja \(\displaystyle{ K_{X}}\) jest dobrze zdefiniowana.

Alef · Post autor: **Alef** » 16 lis 2015, o 16:49

Napisz definicje funkcji \(\displaystyle{ K_{X}}\).

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 16 lis 2015, o 16:53

\(\displaystyle{ K_{X}(s,t)=E[X_{s}-m_{X}(s))(X_{t}-m_{X}(t))]}\),\(\displaystyle{ (s,t) \in T \times T}\)

Alef · Post autor: **Alef** » 16 lis 2015, o 16:54

Przemnóż nawiasy. Skorzystaj z liniowości wartości oczekiwanej i napisz co wychodzi.

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 16 lis 2015, o 16:57

A o co chodzi w tym, że funkcja jest dobrze zdefiniowana? Bo właściwie nie wiem co pokazać...

Alef · Post autor: **Alef** » 16 lis 2015, o 17:02

Mówiąc potocznie: ma sens.

Teraz się zastanów kiedy u Ciebie coś będzie miało sens np. czy dopuszczasz możliwość aby wyrażenie było równe \(\displaystyle{ \infty}\). Jeżeli nie, to musisz sprawdzić, czy to co jest Twoim wyrażeniem, przy podanych założeniach, jest zawsze skończone.

Inna możliwość to jest sytuacja w której np. może Ci się pojawić symbol nieoznaczony. Musisz zatem sprawdzić, czy to co jest Twoim wyrażeniem, przy podanych założeniach, nie tworzy symbolu nieoznaczonego.

To jest jak z szukaniem dziedziny funkcji.

Czy przy założeniu, że \(\displaystyle{ x \ge 0}\), funkcja \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) jest dobrze określona?

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 16 lis 2015, o 17:09

Czyli po prostu trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ K_{X}<+ \infty}\)?

Alef · Post autor: **Alef** » 16 lis 2015, o 17:10

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 16 lis 2015, o 17:15

Dziękuję, zabieram się do roboty

Alef · Post autor: **Alef** » 16 lis 2015, o 17:29

Ok. Napiszę Ci dwie rzeczy które mogą być użyteczne w rozwiązaniu Twojego zadania. Zaglądnij tylko wówczas jak sama spróbujesz rozwiązać problem

Ukryta treść:

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 17 lis 2015, o 17:48

\(\displaystyle{ K_{x}(s,t)=E(X_{s}X_{t})-EX_{s}EX_{t} \le \sqrt{EX^2_{s}EX^2_{t}}-EX_{s}EX_{t} \le \sqrt{(EX_{s})^{2}(EX_{t})^{2}}-EX_{s}EX_{t}=0}\).

dobrze?

Alef · Post autor: **Alef** » 17 lis 2015, o 17:52

Dlaczego \(\displaystyle{ 0}\)?

Coś tu nie gra...

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 17 lis 2015, o 17:53

bo \(\displaystyle{ \sqrt{(EX_{s})^{2}(EX_{t})^{2}}-EX_{s}EX_{t}=EX_{s}EX_{t}-EX_{s}EX_{t}=0}\)

Alef · Post autor: **Alef** » 17 lis 2015, o 17:54

Pierwsza nierówność jest źle.

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 17 lis 2015, o 17:56

A nie druga? Z nierównością Jensena?