Prawdopodobieństwo warunkowe względem sigma ciała

[eewikaa]

Dana jest przestrzeń probabilistyczna \(\displaystyle{ \left( R^2, B,P\right)}\), gdzie B oznacza sigma ciało zbiorów borelowskich a P jest rozkładem gęstości:
\(\displaystyle{ f\left( x,y\right) = \frac{1}{4 \pi } \exp\left( -\frac{x^2+y^2}{4} \right)}\)
względem dwuwymiarowej miary Lebesgue'a.
Niech G będzie sigma ciałem generowanym przez zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right) \in R^2: \ x^2+y^2<1 \right\}}\).

Wyznaczyć \(\displaystyle{ P\left( \left\{ \left( x,y\right) \in R^2: \ x-y<0, y \le 0 \right\}|G \right)}\).

Nie wiem jak się za to zabrać

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr \left( \left{ (x,y)\in R: x-y<0 ,y\leq 0\right}|G\right) = \frac{Pr \left (\left\{ (x,y)\in R^2: x-y<0 ,y\leq 0\right \} \cap G\right) }{Pr(G)}}\)

\(\displaystyle{ Pr \left( \left{ (x,y)\in R: x-y<0 ,y\leq 0\right}|G\right)=\frac{\frac{1}{4\pi}\int_{\pi}^{\frac{5}{4}\pi}\int_{0}^{1}e^{-\frac{r^2}{4}}rdr d\phi}{\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}e^{-\frac{r^2}{4}} rdr d\phi}.}\)

[eewikaa]

Właśnie chyba nie do końca, bo tu stosujesz prawdopodobieństwo warunkowe, a w zadaniu jest prawdopodobieństwo warunkowe względem sigma ciała, a to juz niestety tak sie nie liczy

[janusz47]

Liczę względem sigma ciała G. Jednak chyba do końca.

[Alef]

Tutaj mamy:

\(\displaystyle{ P(A|G)=E[I_{A}|G]}\)

WWO względem sigma ciała to zmienna losowa.