Niech \(\displaystyle{ Y_{j}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że \(\displaystyle{ P\left( Y_{j}=-j\right)= \frac{1}{j^2}}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( Y_{j}=0\right)= 1-\frac{1}{j^2}}\). Sprawdź czy ciąg \(\displaystyle{ \left\{ Y_{j} \right\}_{j=1}^{ \infty }}\) spełnia SPWL.
Więc tak, muszę sprawdzić czy ciąg \(\displaystyle{ \left\{ Y_{j} \right\}_{j=1}^{ \infty }}\) spełnia poniższą zależnośc i wówczas będzie spełniał SPWL.
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} Var\left( Y_{j}\right)=0}\)
Tylko teraz mam problem z wyliczeniem tej wariancji.
Słabe prawo wielkich liczb
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Słabe prawo wielkich liczb
\(\displaystyle{ Y_{j}}\) ma rozkład dwupunktowy, a więc dyskretny. W takim razie \(\displaystyle{ \mathbf{E}(Y_{j})}\) to po prostu suma takich iloczynów "wartość razy prawdopodobieństwo, z jakim jest przyjmowana". Natomiast \(\displaystyle{ \mathbf{E}(Y_{j}^{2})}\) to taka suma: \(\displaystyle{ (-j)^{2}\cdot \mathbf{P}(Y_{j}=-y_{j})+0^{2}\cdot \mathbf{P}(Y_{j}=0)}\). No i wariancja to różnica drugiego momentu i kwadratu pierwszego momentu.
Powinno wyjść \(\displaystyle{ Var(Y_{j})=1- \frac{1}{j^{2}}}\)
Powinno wyjść \(\displaystyle{ Var(Y_{j})=1- \frac{1}{j^{2}}}\)
Słabe prawo wielkich liczb
\(\displaystyle{ E\left[ Y_{j}\right] =-j\cdot P\left( Y_{j}=-j\right)+0\cdot P\left( Y_{j}=0\right)=-\frac{1}{j}}\)
\(\displaystyle{ E\left[ Y_{j}^{2}\right] =(-j)^2\cdot P\left( Y_{j}=-j\right)+0^{2}\cdot P\left( Y_{j}=0\right)=1}\)
\(\displaystyle{ Var(Y_{j})=E\left[ Y_{j}^{2}\right]-\left( E\left[ Y_{j}\right]\right)^{2}=1-\frac{1}{j^{2}}}\)
Widzę, że Premislav mnie uprzedził ale wysyłam posta bo się opisałem...
\(\displaystyle{ E\left[ Y_{j}^{2}\right] =(-j)^2\cdot P\left( Y_{j}=-j\right)+0^{2}\cdot P\left( Y_{j}=0\right)=1}\)
\(\displaystyle{ Var(Y_{j})=E\left[ Y_{j}^{2}\right]-\left( E\left[ Y_{j}\right]\right)^{2}=1-\frac{1}{j^{2}}}\)
Widzę, że Premislav mnie uprzedził ale wysyłam posta bo się opisałem...
-
miodzio1988
Słabe prawo wielkich liczb
Ma dyskretny ale to nie jest rozkład dwupunktowy. \(\displaystyle{ j}\) leci po liczbach naturalnychPremislav pisze:\(\displaystyle{ Y_{j}}\) ma rozkład dwupunktowy, a więc dyskretny.
-
matix
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 8 lis 2012, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieliczka
- Podziękował: 46 razy
Słabe prawo wielkich liczb
dzieki!
Czyli teraz mam cos takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} (1- \frac{1}{j^2} ) \right)= \\
\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} 1- \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j^2} ) \right)=0}\)
Bo pierwsza suma zbiega do n wiec granica nam wyjdzie 0 a druga suma jest to szereg harmoniczny ktory jest zbiezny i w granicy z podzieleniem przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) tez nam wyjdzie 0.
Dobrze?
Czyli teraz mam cos takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} (1- \frac{1}{j^2} ) \right)= \\
\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} 1- \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j^2} ) \right)=0}\)
Bo pierwsza suma zbiega do n wiec granica nam wyjdzie 0 a druga suma jest to szereg harmoniczny ktory jest zbiezny i w granicy z podzieleniem przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) tez nam wyjdzie 0.
Dobrze?
Słabe prawo wielkich liczb
Dla mnie ok. Z tym, że pierwsza suma jest równa \(\displaystyle{ n}\), a nie zbiega do \(\displaystyle{ n}\).
W przypadku drugiego wyrażenia
\(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j^{2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}\cdot \lim_{n\to+\infty}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j^{2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}\cdot\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{j^{2}}=0}\)
W przypadku drugiego wyrażenia
\(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j^{2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}\cdot \lim_{n\to+\infty}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j^{2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}\cdot\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{j^{2}}=0}\)
Ostatnio zmieniony 15 lis 2015, o 15:25 przez Alef, łącznie zmieniany 1 raz.