Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Mycha1309
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 24 paź 2014, o 12:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Prawdopodobieństwo warunkowe

Post autor: Mycha1309 »

Witam,
mam problem z pewnym zadaniem:
W pierwszym pudełku są 3 losy wygrywające i 7 przegrywających, w drugim 4 wygrywające i 6 przegrywających, w trzecim 5 wygrywających i 5 przegrywających. Rzucamy kostką do gry, Jeśli wypadnie liczba nie parzysta, to losujemy z pierwszego pudełka, jeśli 6 to losujemy z drugiego pudełka, w pozostałych przypadkach losujemy z 3 pudełka. Znalezć prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrano los jest przegrany;
b) losowo wybrany los pochodzi z drugiego pudełka, jeśli wiadomo, że jest przegrany;
c) losowo wybrany los pochodzi z trzeciego pudełka, jeśli wiadomo, że jest wygrany.

Jeśli przez A oznaczę wylosowanie losu wygrywającego, a przez A' przegrywającego, przez A1 losy wygrywające w pierwszym pudełku i analogicznie dla pozostałych, natomiast przez B1 oznaczę wypadnięcie nieparzystej liczby oczek, B2 wypadnięcie 6 i przez B3 pozostałe przypadki, to czy rozwiązując podpunkt a powinno być:
P(A')=P(B1)*P(A'1)+P(B2)*P(A'2)+P(B3)*P(A'3)?
Niestety nie wiem jak zabrać się za pozostałe przykłady :(
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Prawdopodobieństwo warunkowe

Post autor: janusz47 »

Oznaczenie zdarzeń:

\(\displaystyle{ P}\) - los przegrany,

\(\displaystyle{ W}\) -los wygrany,

\(\displaystyle{ P_{1}}\) - los pochodzi z pierwszego pudełka,

\(\displaystyle{ P_{2}}\) - los pochodzi z drugiego pudełka,

\(\displaystyle{ P_{3}}\) - los pochodzi z trzeciego pudełka.

a)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne)

\(\displaystyle{ Pr(P) = Pr(P_{1})Pr(P|P_{1})+Pr(P_{2})Pr(P|P_{2})+Pr(P_{3})Pr(P|P_{3}).}\)

\(\displaystyle{ Pr(P)= \frac{1}{2}\cdot \frac{7}{10}+ \frac{1}{6}\cdot \frac{6}{10}+ \frac{2}{6}\cdot \frac{5}{10} = \frac{37}{60}}\)

b)
Ze wzoru Thomasa Bayesa

\(\displaystyle{ Pr(P_{2}|P) = \frac{Pr(P_{2})Pr(P|P_{2})}{Pr(P)}.}\)

\(\displaystyle{ Pr(P_{2}|P) = \frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{6}{10}}{\frac{37}{60}}=\frac{6}{37}.}\)

c)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe

\(\displaystyle{ Pr(P_{3}|W) = \frac{Pr(P_{3} \cap W)}{Pr(W)}= \frac{Pr(P_{3})Pr(W|P_{3})}{Pr(W)}.}\)

\(\displaystyle{ Pr(P_{3}|W) = \frac{\frac{2}{6}\cdot \frac{5}{10}}{1- \frac{37}{60}}= \frac{10}{23}.}\)
ODPOWIEDZ