Warunkowa wartość oczekiwana (rozkład dyskretny) - pytanie

[musialmi]

Rzucamy monetą do wyrzucenia orła. Niech \(\displaystyle{ Y}\) oznacza ilość rzutów, a \(\displaystyle{ X}\) oznacza ilość orłów wyrzuconych w 1. rzucie. Oblicz \(\displaystyle{ \EE (X|G_1), \EE (X|G_2)}\) dla \(\displaystyle{ G_1 = \sigma(X), G_2=\sigma(Y)}\).

Pytanie jest takie:
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zdarzeniem "w 1. rzucie nie wypadł orzeł", to wyrażenie\(\displaystyle{ \frac{\EE (X \mathbb{I}_A)}{P(A)}\mathbb{I}_A + \frac{\EE (X \mathbb{I}_{A^c})}{P(A^c)}\mathbb{I}_{A^c}}\) daje nam \(\displaystyle{ \EE (X|G_1), \mbox{czy } \EE (X|G_2)}\) i dlaczego?

[Alef]

\(\displaystyle{ \EE (X|G_1)=X}\), bo \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \sigma(X)}\) mierzalne.

[musialmi]

Jeju, właśnie zdałem sobie sprawę, że moja wiedza jest bardzo nieuporządkowana i przez mnogość oznaczeń i nazw na różnych przedmiotach nie mogę jej uporządkować sam. Proszę więc o pomoc:

Wiem co to jest \(\displaystyle{ \sigma (A)}\), jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem. Gdzieś w internecie wyczytałem, że \(\displaystyle{ \sigma (X)}\) to przeciwobraz zbiorów borelowskich przez funkcję \(\displaystyle{ X}\), czy tak?

Mam przed sobą definicję funkcji "\(\displaystyle{ A/B}\) mierzalnej" (\(\displaystyle{ f \colon (X,A)\to (Y,B)}\)), ale to jest równoważne funkcji \(\displaystyle{ A}\)-mierzalnej czy \(\displaystyle{ B}\)-mierzalnej?

Podejrzewam, że zdanie "\(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \sigma (X)}\)-mierzalne" jest oczywiste po uporządkowaniu definicji.

Mógłby ktoś jeszcze wyjaśnić dlaczego to wyrażenie, które napisałem, opisuje \(\displaystyle{ \EE (X|G_2)}\)? Ja wiem, że twierdzenie, ale mam je bardzo ogólnie napisane i mało widzę :/

[Alef]

\(\displaystyle{ \sigma(X)}\) jest to najmniejsze sigma cało względem którego\(\displaystyle{ X}\) jest mierzalne, zatem jest to zbiór \(\displaystyle{ \left\{ X^{-1}(B)\colon B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{B}(\mathbb{R})}\) jest sigma ciałem zbiorów borelowskich zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

Odwzorowanie

\(\displaystyle{ X\colon (\omega,\sigma(X))\to \left( \mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})\right)}\)

jest \(\displaystyle{ \sigma(X)}\) mierzalne.

O funkcjach "\(\displaystyle{ A/B}\) mierzalnych" zdaje się, że mówimy wówczas jeżeli zbiór \(\displaystyle{ \left( \mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})\right)}\) jest inny niż zbiór liczb rzeczywistych z sigma ciałem zbiorów borelowskich, czyli wtedy, gdy jest inny niż "standardowy" w teorii rachunku prawdopodobieństwa.

To wszystko piszę z głowy, nie sprawdzałem tego, zatem mogłem trochę nakłamać

[musialmi]

Aha! Czyli można powiedzieć, że \(\displaystyle{ \sigma (X)}\) jest generowane przez przeciwobrazy \(\displaystyle{ X}\)-a, tak? No to świetnie, wtedy już widzę pochodzenie tego wzoru.

[Alef]

Tak. Bo \(\displaystyle{ \sigma(X)}\) to najmniejsze sigma ciało względem którego \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalne czyli musi być generowane przez przeciwobrazy \(\displaystyle{ X}\).