Zmienna dwuwymiarowa o rozkładzie jednostajnym na kole

[likoms]

Dzień Dobry, mam problem z takim zadaniem.
Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ X ∈ R ^{2}}\)
o rozkładzie jednostajnym na kole o promieniu
\(\displaystyle{ R = 3}\) i środku w punkcie \(\displaystyle{ P _{0} = (3, 3).}\) Oblicz \(\displaystyle{ EX}\) oraz prawdopodobieństwo w przedziale \(\displaystyle{ 0<x<3}\) oraz \(\displaystyle{ 0<y<3}\)

Na początku wyznaczyłem sobie z równania koła, że
\(\displaystyle{ y= \sqrt{9-(x-3) ^{2} } +3}\)

Następnie policzyłem korzystam ze wzoru na ciągłe EX czyli
\(\displaystyle{ \int_{0}^{6}x*f(x)dx}\) i wychodzi mi wynik 93 (Nie wiem czy dobry)

I teraz nie wiem czy dobrze wyliczyłem EX oraz jaka jest funkcja z=f(x,y) (Czy to jest półkula, czy coś innego)

Z góry dziękuję za pomoc,
Piotr

[Premislav]

Dzień dobry.
To na pewno nie jest OK, bo wartością oczekiwaną wektora losowego jest wektor, a nie liczba (tzn. oczywiście można sobie powiedzieć, że liczba to wektor \(\displaystyle{ 1\times 1}\), ale chyba wiadomo, o co mi chodzi). Nie jest to też wartość oczekiwana żadnej ze współrzędnych, bo każda z takowych jest z prawdopodobieństwem zero poza \(\displaystyle{ (0,6)}\).
co do drugiej części, nie rozumiem, czy chodzi o oddzielne policzenie \(\displaystyle{ \mathbb{P}(x \in (0,3))}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(y \in (0,3))}\) (wtedy znajdujesz gęstości brzegowe, całkując względem tej zmiennej, która cię nie interesuje, a dalej sobie liczysz po prostu... ale można tez odczytać z rysunku, po prostu właśnie takie kawałki koła - liczysz ich pole i dzielisz przez pole całosci), czy też o \(\displaystyle{ \mathbb{P}(x\in(0,3) \wedge y\in(0,3))}\), to by można z rysunku odczytać (pole części wspólnej \(\displaystyle{ (0,3)\times(0,3)}\) z tym kołem przez pole całego koła, bo rozkład jest jednostajny).

[likoms]

Nie bardzo rozumiem jakie wektory. Wzór na EX jest opisany \(\displaystyle{ \int_{}^{} xf(x)dx}\) tak więc nie mam za bardzo pojęcia o czym mówisz. czy mógłbyś napisać, gdzie mógłbym doczytać o tym dokładnie ? Co do prawdopodobieństwa to rzeczywiście masz rację

Dziękuję za pomoc,
Piotr

[Premislav]

Wzór na \(\displaystyle{ EX}\) jest opisany \(\displaystyle{ \int_{}^{} xf(x)dx}\)

To jest wzór działający dla jednowymiarowej zmiennej losowej mającej funkcję gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\).
Twoja zmienna losowa jest dwuwymiarowa, więc ma wektor wartości oczekiwanej złożony z dwóch współrzędnych. Pierwsza jego współrzędna to \(\displaystyle{ \int_{D}^{}x f(x,y) dx dy}\)
a druga to \(\displaystyle{ \int_{D}^{} yf(x,y) dx dy}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) to w tym wypadku "Twoje" koło o środku w \(\displaystyle{ (3,3)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\), zaś \(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases}\frac{1}{9\pi} , \text{ gdy } (x,y) \in D \\ 0 \text{ w p.p. }\end{cases}}\)
(\(\displaystyle{ 9\pi}\) to pole tego koła).
I teraz można postąpić na dwa sposoby: albo potraktować to jako translację wektora losowego o rozkładzie jednostajnym na kole o środku w zerze, żeby się wygodniej pałczyło (i tak tutaj proste; mimo to polecam to podejście) całki (no i potem używamy tego faktu, że \(\displaystyle{ \mathbf{E}(X+a)=\mathbf{E}X+a}\), tylko że w przypadku dwuwymiarowym, \(\displaystyle{ a}\) będzie więc wektorem \(\displaystyle{ (3,3)}\)), albo wprowadzić sobie przesunięte współrzędne polarne: \(\displaystyle{ x=3+r\cos \phi, y=3+r\sin \phi, r \in (0,3), \phi \in [0, 2\pi)}\). No i policzyć to, co napisałem. Aha, i pamiętaj o jakobianie odwzorowania! (wynosi \(\displaystyle{ r}\))
Można też bez liczenia zauważyć, że szukany wektor wartości oczekiwanych to \(\displaystyle{ (3,3)}\), bo rozkład jest jednostajny na wspomnianym kółku, a \(\displaystyle{ (3,3)}\) to środek koła, ale miałbym problem z formalnym ubraniem tego w słówka.

[Kartezjusz]

Wartość oczekiwana rozkładu na figurze środkowosymetrycznej to środek symetrii, ponieważ każdemu punktowi \(\displaystyle{ (x, y)}\)można przyporządkować \(\displaystyle{ (-x, -y)}\). Rozkład jest jednostajny czyli gęstość jest stała na tej figurze. Jeśli tym środkiem jest \(\displaystyle{ (0,0)}\).Jeśli nie dokonujemy przesunięcia, które zostało przypomniane

[likoms]

Dziękuję wam, teraz wiem skąd się to bierze.
Btw. tutaj też jest to wyjaśnione

http://studia.elka.pw.edu.pl/pub/12Z/RP ... pr_w07.pdf