Wzór łańcuchowy

[lightinside]

Mamy 10 kul białych i 10 czarnych. losujemy dwie kule nie wzracamy ich, dodajemy1 białą i jedną czarną. Jakie jest prawdopodobieństwo że przy 4 losowaniach wylosujemy tylko czarne?

Tu oczywiście zastoswanie ma wzór łańcuchowy.

Dziwnie jak dla mnie wygląda rozwiązanie zadania(przynajmniej moje) więc chciałabym aby ktoś na nie zajrzał i ocenił czy aby na pewno jest okey.

\(\displaystyle{ P\left(A_1 \right) = \frac{ {10 \choose 2} }{ {20 \choose 2} }}\) \(\displaystyle{ P\left(A_2 \right) = \frac{ {9 \choose 2} }{ {20 \choose 2} }}\)\(\displaystyle{ P\left(A_3 \right) = \frac{ {8 \choose 2} }{ {20 \choose 2} }}\)\(\displaystyle{ P\left(A_4 \right) = \frac{ {7 \choose 2} }{ {20 \choose 2} }}\)

\(\displaystyle{ P\left(A_2 | A_1\right) = \frac{ \frac{{9 \choose 2}}{{20 \choose 2}} }{ \frac{{10 \choose 2}}{{20 \choose 2}} }}\)
\(\displaystyle{ P\left(A_3|A_2 \cap A_1\right) = P\left( {8 \choose 2} | {9 \choose 2} \right) = \frac{ \frac{ {8 \choose 2} }{ {20 \choose 2} } }{ \frac{ {9 \choose 2} }{ {20 \choose 2} } }}\)
\(\displaystyle{ P\left(A_4|A_3 \cap A_2 \cap A_1\right) = \frac{ \frac{ {7 \choose 2} }{ {20 \choose 2} } }{ \frac{ {8 \choose 2} }{ {20 \choose 2} } }}\)

Potem podstawienie wszystkiego do wzoru. Czy na tą chwilę obliczenia są przeprowadzone poprawnie?