funkcja charakterystyczna, warunkowa wartość oczekiwana

[gienia]

X i Y są zmiennymi losowymi o rozkładnie N(0,1). Znaleźć funkcję charakterystyczną XY.

\(\displaystyle{ \varphi_{XY}(t)=Ee^{itXY}=E(E(e^{itXY}|Y))=Ee^{- \frac{t^2y^2}{2} }=...}\)

Dlaczego robimy z tego warunkową wartość oczekiwaną? I skąd wzięło się \(\displaystyle{ Ee^{- \frac{t^2y^2}{2} }}\)?

[norwimaj]

Dlaczego robimy z tego warunkową wartość oczekiwaną?

Może po to, żeby całkować najpierw po jednej zmiennej, a potem po drugiej, zamiast po obu jednocześnie.

I skąd wzięło się \(\displaystyle{ Ee^{- \frac{t^2y^2}{2} }}\)?

Pewnie ktoś w pamięci obliczył, że \(\displaystyle{ E(e^{itXY}|Y=y)=e^{- \frac{t^2y^2}2}.}\)

[gienia]

Pewnie ktoś w pamięci obliczył, że \(\displaystyle{ E(e^{itXY}|Y=y)=e^{- \frac{t^2y^2}2}.}\)

A jak to się liczy?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itxy}e^{-\frac{x^2}2}\,\mathrm{d}x=
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(ty)^2}2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-ity)^2}2}\,\mathrm{d}x.}\)

Całka po prawej stronie jest równa tyle samo, co \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}2}\,\mathrm{d}x,}\) co można uzasadnić korzystając z holomorficzności funkcji \(\displaystyle{ z\mapsto e^{-\frac{z^2}2}.}\)