Tomek i klocki

[revage]

Na każdym z sześciennych klocków, które ma Tomek, zapisana jest jedna cyfra. Pewnego dnia
chłopiec ustawił w szereg siedem klocków, otrzymując liczbę siedmioicyfrową.Po chwili z
utworzonego szeregu wysunął wszystkie klocki z cyfrą 5.Wówczas cyfry na pozostawionych
klockach utworzyły liczbę 2010. Oblicz prawdopodobieństwo tego że otrzymana liczba
siedmiocyfrowa była
a)większa od 5000000
b)podzielna przez 50

Znalazłam takie rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że mieliśmy klocki: 5,5,5,2,0,1,0
Zauważmy, że każda liczba utworzona z tych klocków ma sumę cyfr równą 18, czyli jest podzielna przez 3, stąd od razu P(A)=1 . <----- ?
Wszystkich liczb siedmiocyfrowych jakie były możliwe do utworzenia z tych klocków jest:
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\cdot2!}-\frac{6!}{3!}=300}\) <------?
(bierzemy permutacje z powtórzeniami naszego ciągu liczb i odejmujemy te, w których 0 wystepuje na początku

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego tak rozwiązano tą czesc szczególnie omega?

[Tommy A]

https://www.matematyka.pl/page.php?p=kom ... binatoryki - znajdź tam permutacje z powtórzeniami

Żeby poznać moc zbioru, trzeba policzyć na ile można stworzyć 7-elementowych ciągów z tych cyfr i odjąć te ciągi które zaczynają się od 0 - wtedy pozostanie liczba wszystkich liczb 7-cyfrowych.

Cyfra 5 występuje 3 razy, cyfra 0 występuje 2 razy, cyfry 2 i 1 po 1 raz. \(\displaystyle{ \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}}\)

Gdy zero jest na początku, to rozważamy wszystkie możliwe permutacje pozostałych 6 cyfr. Gdy 0 damy na początek, to pozostanie 6 cyfr - cyfra 5 3 razy, cyfry 0;1 i 2 po 1 raz. \(\displaystyle{ \frac{6!}{3!}}\)

\(\displaystyle{ |\Omega|=\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}-\frac{6!}{3!}=420-120=300}\)

[norwimaj]

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego tak rozwiązano tą czesc szczególnie omega?

Pewnie rozwiązywano jakieś inne zadanie, albo to zadanie okrężnym sposobem. W rozwiązaniu tego zadania można przyjąć na przykład \(\displaystyle{ |\Omega|=\binom73.}\)

[Tommy A]

W sumie można prościej. Wybierasz 2 miejsca dla zer spośród 6 (nie możesz pierwszego) i wybierasz 3 miejsca dla piątek spośród 5 pozostałych (już dowolne), potem dwójkę na 2 sposoby rozmieszczasz i jedynce 1 miejsce pozostaje.
\(\displaystyle{ |\Omega|={6 \choose 2} \cdot {5 \choose 3} \cdot {2 \choose 1} \cdot {1 \choose 1}=15 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 1=300}\)

@norwimaj ?!

[norwimaj]

Tylko pytanie, po co to liczysz, skoro później licząc prawdopodobieństwo warunkowe wcale tej liczby nie wykorzystasz?

[Tommy A]

o kurde zapomniałem o tym 2010 :facepalm: