Witam,
mam problem z rozwiązaniem tego zadania:
Pewną niesymetryczną monetą o nieznanym prawdopodobieństwie p wyrzucenia orła wyrzucono 733 orłów na 1000 rzutów. Z pomocą Centralnego Twierdzenia Granicznego oszacuj prawdopodobieństwo, że prawdziwa wartość oczekiwana liczby wyrzuconych orłów na 1000 rzutów przy użyciu tej monety jest większa od 600.
z góry dziękuję za pomoc i wskazówki,
pozdrawiam.
Centralne twierdzenie graniczne - niesymetryczne monety.
-
miodzio1988
Centralne twierdzenie graniczne - niesymetryczne monety.
Jaki masz dokładnie problem? Zdefiniuj ciag zmiennych losowych
Centralne twierdzenie graniczne - niesymetryczne monety.
Mowa o tym ciągu?
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n\mu}{\delta \sqrt{n}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n\mu}{\delta \sqrt{n}}}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Centralne twierdzenie graniczne - niesymetryczne monety.
No nie, ale to, co napisałeś, tez się przyda. Niech \(\displaystyle{ (X_{i})_{i\in \NN^{+}}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie dwupunktowym, \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{i}=1)=p=1-\mathbb{P}(X_{i}=0)}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ \mathbb{E}X_{i}=p}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma X_{i}= \sqrt{p(1-p)}}\), więc jeśli \(\displaystyle{ S_{1000}= \sum_{i=1}^{1000}X_{i}}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{E}S_{1000}=}\)... oraz \(\displaystyle{ \sigma S_{1000}=}\)...
no i ponieważ z CTG mamy, że \(\displaystyle{ \frac{S_{n}-n\mathbb{E}X_{1}}{ \sqrt{n}\sigma X_{1} }}\) zbiega według rozkładu do \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\), to wartości dystrybuanty zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Z=\frac{S_{1000}-1000\mathbb{E}X_{1}}{ \sqrt{1000}\sigma X_{1} }}\) możemy przybliżać za pomocą dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego (to \(\displaystyle{ X_{1}}\) tam jest tylko dla ustalenia uwagi, bo te z. losowe mają wspólny rozkład, można po prostu oznaczyć jako \(\displaystyle{ \mu}\) na wspólną średnią, jako \(\displaystyle{ \sgima}\) - wspólne odchylenie standardowe, tak jak u Ciebie i już).
Załóżmy, że mielibyśmy \(\displaystyle{ \mathbb{E}S_{1000} \le 600}\). To oznaczałoby, że wystąpiło: \(\displaystyle{ S_{1000}-\mathbb{E}S_{1000} \ge 133}\). a prawdopodobieństwo wystąpienia czegoś takiego można np. oszacować z góry z nierówności Czebyszewa-Bienayme. No i trzeba by troche przekształcić, by skorzystac z przybliżenia dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\).-- 8 lis 2015, o 02:57 --Jednakowoż nie umiem skończyć rozwiązania, do usunięcia.
no i ponieważ z CTG mamy, że \(\displaystyle{ \frac{S_{n}-n\mathbb{E}X_{1}}{ \sqrt{n}\sigma X_{1} }}\) zbiega według rozkładu do \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\), to wartości dystrybuanty zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Z=\frac{S_{1000}-1000\mathbb{E}X_{1}}{ \sqrt{1000}\sigma X_{1} }}\) możemy przybliżać za pomocą dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego (to \(\displaystyle{ X_{1}}\) tam jest tylko dla ustalenia uwagi, bo te z. losowe mają wspólny rozkład, można po prostu oznaczyć jako \(\displaystyle{ \mu}\) na wspólną średnią, jako \(\displaystyle{ \sgima}\) - wspólne odchylenie standardowe, tak jak u Ciebie i już).
Załóżmy, że mielibyśmy \(\displaystyle{ \mathbb{E}S_{1000} \le 600}\). To oznaczałoby, że wystąpiło: \(\displaystyle{ S_{1000}-\mathbb{E}S_{1000} \ge 133}\). a prawdopodobieństwo wystąpienia czegoś takiego można np. oszacować z góry z nierówności Czebyszewa-Bienayme. No i trzeba by troche przekształcić, by skorzystac z przybliżenia dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\).-- 8 lis 2015, o 02:57 --Jednakowoż nie umiem skończyć rozwiązania, do usunięcia.