Niezależność zdarzeń

[niXman]

Zdarzenia A , B są niezależne wtedy niezależne są rownież zdarzenia im przeciwne A' i B'. Mam pomysł
\(\displaystyle{ P(A \cap B)'=P(A' \cup B')=1-P(A \cup B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)=P(A)+P(B)-(1-P(A'))(1-P(B')}\)
Nie wiem co można dalej zrobić... Albo coś nie tak robią...

[Premislav]

Problem w tym, że chyba źle rozumiałeś niezależność zdarzeń \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) - albo po prostu nieporozumienie wynika z tego, że nie napisałeś, czemu wychodzisz akurat od takiej a nie innej równości.
Ma być \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A' \cap B')=\mathbb{P}(A')\cdot \mathbb{P}(B')}\), a wiemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)}\). Zauważ, że z praw De Morgana (chciałem napisać nazwisko z błędem, żeby zatrollować, ale jakoś się powstrzymałem) masz
\(\displaystyle{ A' \cap B'=(A \cup B)'}\), skorzystaj z tego i z tego, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(C')=1-\mathbb{P}(C)}\), by przekształcić lewą stronę, a następnie użyj wzoru włączeń i wyłączeń - rozpisz z niego na pałasza, a potem skorzystaj z założenia o niezależności \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) po czym zauważ, że otrzymane wyrażenie można zapisać jako "pewien" iloczyn.
Pewnie mozna jakoś ąłdniej, ale nie mam pomysłu.-- 6 lis 2015, o 17:26 --A niee, czekaj czekaj, poza tym dziwnym początkiem miałeś dalej dobry pomysł:

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)=P(A)+P(B)-(1-P(A'))(1-P(B')}\)

Teraz wystarczy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A \cup B) =\mathbb{P}((A'\cap B')')}\)
oraz z tego, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A')=1}\) etc.