ze zbioru liczb

[revage]

Ze zbioru liczb\(\displaystyle{ \{1,2....15,16\}}\) losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem i oznaczamy kolejno \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, kiedy suma \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).

[Straznik Teksasu]

Ja bym pogrupował liczby ze względu na reszty z dzielenia przez 3.

[Premislav]

Wyborów trójki liczb spośród danych (ze zwracaniem) masz \(\displaystyle{ 16^{3}}\). Rzeczona suma dzieli się przez trzy, jeśli wylosujemy trzy liczby dające tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) albo wylosujemy jedną podzielną przez trzy, jedną dającą resztę dwa i jedną dającą resztę jeden z dzielenia przez trzy. No to to drugie jest proste: masz w \(\displaystyle{ \left\{ 1,...16\right\}}\) pięć liczb podzielnych przez trzy, pięć liczb dających resztę jeden z dzielenia przez trzy i sześc liczb dających resztę dwa z dzielenia przez trzy. Pirszy przypadek (trzy dające tę samą resztę) jest też prosty, gdyż skoro mamy pięć liczb podzielnych przez trzy w rzeczonym zbiorze, to możliwości wylosowania (ze zwr.) trzech \(\displaystyle{ \equiv 0\pmod{3}}\) jest \(\displaystyle{ 5^{3}}\) etc. No i to dodajesz i będziesz mieć moc zbioru zdarzeń sprzyjających (czy jak tam to nazywano w sql albo w php hihi - to "wysublimowany" żart z potocznego "sql" jako okreslenia szkoły).

[revage]

liczby że zbioru od 1 do 16 można podzielić na:
podzielne przez 3 bez reszty \(\displaystyle{ \left\{ 3,6,9,12,15\right\}}\),
podzielne przez 3 z r.1 \(\displaystyle{ \left\{ 4,7,10,13,16\right\}}\),
podzielne przez 3 z r.2.\(\displaystyle{ \left\{ 5,8,11,14\right\}}\)

1 i 2 dzieli się z jaka resztą?

Zeby suma była podzielna przez 3,to:
1) wybieramy 3 liczby z liczb podzielnych przez 3 bez reszty \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\)
Lub
2)wybieramy jedną podzielną przez 3 z r. 2 i dwie podzielne przez 3 z r. 1 (wtedy suma reszt= 3)\(\displaystyle{ {6 \choose 1 } \cdot {5 \choose 2}}\)
Lub
3)wybieramy dwie podzielne przez 3 z r. 1 i jedna podzielną przez 3 z r. 2 (suma reszt =3)
\(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot {6 \choose 1}}\)
Lub
4)wybieramy trzy z r. 1 (suma reszt 3)
5)wybieramy trzy z r. 2 (suma reszt 6)

Z tego co napisałeś ja tak to rozumiem

[Premislav]

1 i 2 dzieli się z jaka resztą?

\(\displaystyle{ 1=0+1}\) oraz \(\displaystyle{ 2=0+2}\), a zero dzieli się przez każdą liczbę naturalną (ew. oprócz zera, zależy jak wprowadzamy pojęcie podzielności).

No nie do końca dobrze: zapominasz o tym, że losujemy liczby ze zwracaniem, co wydaje się nienaturalne, ale tak jezd(nia) w treści. Wobec tego trójkę podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) możemy wybrać na \(\displaystyle{ 5^{3}}\) sposobów, bo możemy wylosować np. \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2},x_{3})=(3,3,3)}\).
Podobna uwaga dalej, będzie \(\displaystyle{ {5 \choose 1}{5 \choose 1}}\), a nie \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\), bo losujemy ze zwracaniem.

[revage]

Dzięki, dużo mi pomogłeś