Treść zadania jest taka:
Sekretarka napisała \(\displaystyle{ n}\) listów, które trzeba było wysłać do \(\displaystyle{ n}\) osób. Na każdej kopercie wpisała po jednym adresie, po czym wysłała listy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żaden z adresatów nie otrzyma swojego listu.
Na zajęciach miałem podany taki wzór na zasadę wyłączeń i włączeń:
\(\displaystyle{ \left| \bigcup_{i=1}^{n}A_i \right|= \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \sum_{1\le k_1 < k_2 <... <k_1 \le n}^{}\left| A_{k_1} \cap A_{k_2} \cap ... \cap A_{k_i}\right|}\)
I jeśli dobrze rozumiem, korzystając z tego wzoru muszę wyprowadzić kolejny, odpowiedni dla tego problemu wzór. Przeszukując forum znalazłem taką odpowiedź: (343626.htm#p5135240)
I tutaj pojawia się najważniejsze pytanie: Jak, korzystając z zasady wyłączeń i włączeń otrzymać podobną postać wzoru jak w zacytowanym poście? Nie mam pojęcia skąd bierze się \(\displaystyle{ {n \choose k}}\). Z góry dziękuję za odpowiedźzidan3 pisze:2.
Niech \(\displaystyle{ A_{i_k}}\) oznacza zdarzenie, że list na \(\displaystyle{ i_k}\)-tym miejscu trafi do swojej koperty.
Oczywiście wtedy \(\displaystyle{ P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=\frac{(n-k)!}{n!}}\)
\(\displaystyle{ B}\) - co najmniej jeden trafi na swoje miejsce. Wtedy
\(\displaystyle{ P(B)=P\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right)= \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} {n \choose k} \frac{(n-k)!}{n!}}\)