różnica zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym

[KlaudiaMaria]

Mamy dane zmienne losowe \(\displaystyle{ X \sim Exp(2), Y \sim Exp(2)}\). Naleźy wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ U=X-Y.}\)Wiem, że to zadanie można policzyć ze splotu gęstości, jednak interesuje mnie druga metoda, wyliczenie tego z dystrybuanty. Niestety mam z tym problem.

[Alef]

Liczę dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y-X}\), bo się "lepiej" wyznacza obszar całkowania.

Jeżeli \(\displaystyle{ X\sim Exp(2)}\) i \(\displaystyle{ Y\sim Exp(2)}\), to gęstości tych zmiennych są postaci \(\displaystyle{ f(x)=2e^{-2x}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i \(\displaystyle{ g(y)=2e^{-2y}}\) dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\).

Dla \(\displaystyle{ u\geq 0}\) mamy:

\(\displaystyle{ F_{U}(u)=P(Y-X \le u)=\int_{0}^{+\infty}\left( 2e^{-2x}\int_{0}^{x+u}2e^{-2y}dy\right) dx}\)

\(\displaystyle{ =\int_{0}^{+\infty}2e^{-2x}\left( 1-e^{-2(u+x)}\right) dx=1-\frac{1}{2}e^{-2u}}\)

Zatem gęstość dla \(\displaystyle{ u\geq 0}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ h(u)=e^{-2u}}\)

Dla \(\displaystyle{ u<0}\) mamy:

\(\displaystyle{ F_{U}(u)=P(Y-X \le u)=\int_{-u}^{+\infty}\left(2e^{-2x}\int_{0}^{x+u}2e^{-2y}dy\right) dx}\)

\(\displaystyle{ =\int_{-u}^{+\infty}2e^{-2x}\left( 1-e^{-2(u+x)}\right) dx=\frac{1}{2}e^{2u}}\)

Zatem gęstość dla \(\displaystyle{ u<0}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ h(u)=e^{2u}}\)

Podsumowując gęstość \(\displaystyle{ Y-X}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ h(u)=\begin{cases} e^{-2u}& \text{dla } u \ge 0\\e^{2u}& \text{dla } u<0 \end{cases}}\)