Warunkowa wartość oczekiwana

[aqlec]

Niech \(\displaystyle{ U_{0},...,U_{n}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\)

Wyznaczyć \(\displaystyle{ E(\max \left( U_{0},...,U_{n} \right) |U_{0})}\)

[Alef]

Wydaje mi się, że to może wyglądać tak:

\(\displaystyle{ E(\max \left( U_{0},...,U_{n} \right) |U_{0})=\max\left( U_{0},\frac{1}{2} \right)}\)

[aqlec]

Nie za bardzo wiem skad to sie wzielo

[Alef]

Jak \(\displaystyle{ \max \left( U_{0},...,U_{n} \right)=U_{0}}\), to \(\displaystyle{ E(\max \left( U_{0},...,U_{n} \right) |U_{0})=E(U_{0}|U_{0})=U_{0}}\).

Jak \(\displaystyle{ \max \left( U_{0},...,U_{n} \right)=U_{1}}\), to \(\displaystyle{ E(\max \left( U_{0},...,U_{n} \right) |U_{0})=E(U_{1}|U_{0})=E(U_{1})=\frac{1}{2}}\),

bo zmienne \(\displaystyle{ U_{0}}\) i \(\displaystyle{ U_{1}}\) są niezależne.

Itd. aż do \(\displaystyle{ n}\).

[aqlec]

Juz rozumiem, dziekuje!

[norwimaj]

Nie wiem, czy to dobrze że rozumiesz. Przedstawione rozwiązanie budzi pewne wątpliwości.

[Alef]

Przedstaw wątpliwości. Będziemy poprawiać

[norwimaj]

Twierdzisz na przykład, że \(\displaystyle{ E\left(\max \left( U_{0},\ldots,U_{n} \right) |U_{0}=\frac34\right)=\frac34.}\) Czy jeśli \(\displaystyle{ U_0=\frac34,}\) to pozostałe zmienne prawie na pewno będą \(\displaystyle{ \le\frac34}\)? chyba jednak mogą być większe, przez co wartość oczekiwana powinna być większa.

Mnie wyszedł wynik \(\displaystyle{ E(\max \left( U_{0},\ldots,U_{n} \right) |U_{0})=\frac1{n+1}U_0^{n+1}+\frac n{n+1}.}\)

[Alef]

Przedstaw swoje rozumowanie krok po kroku.

[norwimaj]

Jak rozkaz, to rozkaz, chociaż moim zdaniem nie ja powinienem tu przedstawiać rozwiązania, tylko aqlec.

Najpierw zauważyłem, że dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ \max(U_1,\ldots,U_n)}\) jest równa \(\displaystyle{ F(t)=t^n}\) dla \(\displaystyle{ t\in[0,1].}\) Gęstość w tym przedziale jest więc równa \(\displaystyle{ g(t)=nt^{n-1}.}\) Po zauważeniu tych rzeczy zacząłem bezmyślnie całkować:

\(\displaystyle{ E(\max (U_0,\ldots,U_n) |U_0)=
E(\max (U_0,\max(U_1,\ldots,U_n)) |U_0)=\\=
\int_0^1\max(U_0,t)\,nt^{n-1}\,\mathrm{d}t=\ldots}\)

i tak jakoś wyszło.

[Alef]

Wydaje mi się, że masz rację, a moje rozwiązanie jest błędne. Dziękuję