Suma niezależnych zmiennych losowych

[Arytmetyk]

Jeśli \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}...}\) są niezależne i mają ten sam rozkład co \(\displaystyle{ X}\) to

\(\displaystyle{ \frac{X_{1}+...+X_{2^n}}{ \sqrt{2^n} }}\) ma ten sam rozkład co \(\displaystyle{ X}\).

Najpierw mam to zrobić dla \(\displaystyle{ n=2}\) i próbowałem to zrobić korzystając z funkcji charakterystycznych i doszedłem do momentu, że:

\(\displaystyle{ Y= \frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{2}}\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(t)=(f_{X}( \frac{t}{2} ) )^4}\)

\(\displaystyle{ f_{Y}, f_{X}}\) to f. charakterystyczne odpowiednich zmiennych losowych

Powinna wyjść równość f. charakterystycznych.

Z góry dziękuje za pomoc.

[Premislav]

A to prawda jest w ogóle? Weźmy rozkład Cauchy'ego i się posypie, bo nie wmówisz mi, że wtedy \(\displaystyle{ X}\) ma wtedy taki sam rozkład, jak \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2^{n}} }X}\) dla \(\displaystyle{ n\neq 0}\).

-- 31 paź 2015, o 12:00 --

Może teza miała być inna, tylko źle spojrzałeś?