Cześć. Mam problem z jednym zadankiem, którego treść jest następująca:
Rozważmy sekwencje zero-jedynkowe o długości n rozpoczynające się od \(\displaystyle{ x_{1}=1}\), a kończące się na \(\displaystyle{ x_{n}=0}\) oraz zawierające tylko jedną parę \(\displaystyle{ x_{i},x_{i+1}}\) taką, że \(\displaystyle{ x_{i}=1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{i+1}=0}\) (Przez \(\displaystyle{ x_{i}}\) rozumiemy i-tą wartość tej sekwencji). Załóżmy, że \(\displaystyle{ P(x_{i}=1)=p}\). Jaka jest oczekiwana długość najdłuższej podsekwencji jedynek?
Z góry dziękuje za pomoc
Sekwencje zero-jedynkowe
-
albwikesl
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 12 lis 2013, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 1 raz
Sekwencje zero-jedynkowe
Hm.. tak jak w zadaniu. Co oznacza sam nie jestem pewien.
*Edit: Jednak wszystko jasne. Zadanie poprawiłem. Czy teraz ktoś by mógł pomóc?
*Edit: Jednak wszystko jasne. Zadanie poprawiłem. Czy teraz ktoś by mógł pomóc?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Sekwencje zero-jedynkowe
Czy nie zauważyłeś, że cofamy się do wieków ciemnych, bo PiS wygrał? Zaraz komputry zostanom wyłonczone. Któż liczyłby na pomoc w takiej sytuacji?
A tak na serio, to można zauważyć, że tych sekwencji jest tyle, ile wyborów pierwszego zera, tj. \(\displaystyle{ n-1}\). No i prawdopodobieństwo trafienia na konkretną sekwencję to pewnie taka pseudo średnia: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k)= \frac{p^{k}(1-p)^{n-k}}{ \sum_{k=1}^{n-1}p^{k}(1-p)^{n-k} }}\) dla \(\displaystyle{ k=1,...n-1}\).
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) odzwierciedlającej liczbę jedynek w tej sekwencji to taka suma: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sum_{l=1}^{n-1}p^{l}(1-p)^{n-l} } \sum_{k=1}^{n-1}kp^{k}(1-p)^{n-k}}\) - policz to i po zadaniu. Wystarczy pokombinować z sumą ciągu geometrycznego i zmianą kolejności sumowania (zauważ, że \(\displaystyle{ k}\) to tyle, co \(\displaystyle{ k}\) dodanych do siebie jedynek).
Ja to w głowie sformułowałem, wychodząc od rozważenia wszystkich sekwencji zero-jedynkowych długości \(\displaystyle{ n}\) i od schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem trafienia \(\displaystyle{ k}\) jedynek równym \(\displaystyle{ {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}\), a następnie użyłem prawdopodobieństwa warunkowego.
A tak na serio, to można zauważyć, że tych sekwencji jest tyle, ile wyborów pierwszego zera, tj. \(\displaystyle{ n-1}\). No i prawdopodobieństwo trafienia na konkretną sekwencję to pewnie taka pseudo średnia: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k)= \frac{p^{k}(1-p)^{n-k}}{ \sum_{k=1}^{n-1}p^{k}(1-p)^{n-k} }}\) dla \(\displaystyle{ k=1,...n-1}\).
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) odzwierciedlającej liczbę jedynek w tej sekwencji to taka suma: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sum_{l=1}^{n-1}p^{l}(1-p)^{n-l} } \sum_{k=1}^{n-1}kp^{k}(1-p)^{n-k}}\) - policz to i po zadaniu. Wystarczy pokombinować z sumą ciągu geometrycznego i zmianą kolejności sumowania (zauważ, że \(\displaystyle{ k}\) to tyle, co \(\displaystyle{ k}\) dodanych do siebie jedynek).
Ja to w głowie sformułowałem, wychodząc od rozważenia wszystkich sekwencji zero-jedynkowych długości \(\displaystyle{ n}\) i od schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem trafienia \(\displaystyle{ k}\) jedynek równym \(\displaystyle{ {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}\), a następnie użyłem prawdopodobieństwa warunkowego.
-
albwikesl
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 12 lis 2013, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 1 raz
Sekwencje zero-jedynkowe
Ok, wielkie dzięki. To prawda. Od kiedy PiS jest u władzy większość ludzi w kościołach siedzi
Jak będę miał jeszcze jakiś problem to dam znać
-- 29 paź 2015, o 19:54 --
A mógłbym wiedzieć, dlaczego to prawdopodobieństwo jest średnią?-- 1 lis 2015, o 17:49 --Ponawiam. Jak by ktoś mógł wytłumaczyć to zadanie bardziej dogłębnie, z komentarzem. Niebawem mam kolokwium z podobnych zadań i chciałbym to zrozumieć. Z góry dziękuje!
Jak będę miał jeszcze jakiś problem to dam znać
-- 29 paź 2015, o 19:54 --
A mógłbym wiedzieć, dlaczego to prawdopodobieństwo jest średnią?-- 1 lis 2015, o 17:49 --Ponawiam. Jak by ktoś mógł wytłumaczyć to zadanie bardziej dogłębnie, z komentarzem. Niebawem mam kolokwium z podobnych zadań i chciałbym to zrozumieć. Z góry dziękuje!
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Sekwencje zero-jedynkowe
Pisze tu, gdyz user prosil o pomoc, zas ja nie uwazam, by moje umiejetnosci byly wystarczajace do wyjasnienia czegokolwiek. Gdy ktos tu juz rzeczowo odpowie, mozna ten post usunac.