Warunkowa w. oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

Warunkowa w. oczekiwana

Post autor: alla2012 »

Zmienne \(\displaystyle{ X_1, \ X_2, \ X_3}\) niezależne, jednakowo rozłożone : \(\displaystyle{ P(X_i=1)=P(X_i=-1)= \frac{1}{2}}\)
Policzyć:
\(\displaystyle{ E(X_1|X_1+X_2+X_3)}\)
\(\displaystyle{ E(X_1X_2|X_1+X_2X_3)}\)
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Warunkowa w. oczekiwana

Post autor: Alef »

Czy to czasem nie powinno iść w ten sposób:

\(\displaystyle{ E(X_{1}|X_{1}+X_{2}+X_{3})=E(X_{2}|X_{1}+X_{2}+X_{3})=E(X_{3}|X_{1}+X_{2}+X_{3})}\)

bo \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, X_{3}}\) mają jednakowy rozkład.

Następnie

\(\displaystyle{ X_{1}+X_{2}+X_{3}=E(X_{1}+X_{2}+X_{3}|X_{1}+X_{2}+X_{3})}\)

\(\displaystyle{ =E(X_{1}|X_{1}+X_{2}+X_{3})+E(X_{2}|X_{1}+X_{2}+X_{3})+E(X_{3}|X_{1}+X_{2}+X_{3})=3E(X_{1}|X_{1}+X_{2}+X_{3})}\)

Zatem

\(\displaystyle{ E(X_{1}|X_{1}+X_{2}+X_{3})=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3}}\)
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

Warunkowa w. oczekiwana

Post autor: alla2012 »

to ma jakiś sens -- 26 paź 2015, o 09:25 --a co z tym drugim podpunktem?
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Warunkowa w. oczekiwana

Post autor: Alef »

Powiem tak. Jeżeli chodzi o ten drugi podpunkt to ja sztuczki nie widzę. Zrobiłbym tak:

1. Zdefiniował zmienną losową:

\(\displaystyle{ X=X_{1}X_{2}}\)

\(\displaystyle{ Y=X_{1}+X_{2}X_{3}}\)

2. Wyznaczył ich rozkłady.

3. Wiemy, że \(\displaystyle{ E[X|Y]=E[X|\sigma(Y)]}\).

4. Trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\).

5. Następnie jak masz \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\) korzystasz albo z warunku:

\(\displaystyle{ \forall A\in \sigma(Y) \quad \int_{A}X(\omega)dP(\omega)=\int_{A}E[X|Y](\omega)dP(\omega)}\)

albo może się okazać, że \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\) stanowi rozbicie \(\displaystyle{ \Omega}\) i wówczas masz wzór na WWO.

Może ktoś inny podpowie coś więcej.
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

Warunkowa w. oczekiwana

Post autor: alla2012 »

uff, no to faktycznie nie wygląda dobrze ale dziękuję za poświęcony czas, przemyśle to
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Warunkowa w. oczekiwana

Post autor: Alef »

I co? Udało się coś policzyć?
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

Warunkowa w. oczekiwana

Post autor: alla2012 »

niestety nie ciągle myślę. Chyba jeszcze za mało umiem-- 30 paź 2015, o 15:01 --Zastanawiam się nad poprawnością tego rozumowania:

Niech \(\displaystyle{ X_4=X_1X_2}\) oraz \(\displaystyle{ X_5=X_2X_3}\) oczywiste, że \(\displaystyle{ X_4}\) i \(\displaystyle{ X_5}\) mają rozkład dwupunktowy - taki sam jak zmienne \(\displaystyle{ X_i}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3}\).


Mamy teraz \(\displaystyle{ E(X_1X_2|X_1+X_2X_3)=E(X_4|X_1+X_5)}\)
\(\displaystyle{ X_1+X_5=E(X_1+X_5|X_1+X_5)=E(X_1|X_1+X_5)+E(X_5|X_1+X_5)=2E(X_4|X_1+X_5)}\) (bo ten sam rozkład)
stąd
\(\displaystyle{ E(X_4|X_1+X_5)= \frac{X_1+X_5}{2}= \frac{X_1+X_2X_3}{2}}\)
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Warunkowa w. oczekiwana

Post autor: Alef »

Mamy co najmniej dwie możliwości rozwiązania.

I.

1. Zdefiniować \(\displaystyle{ X_{4}=X_{1}X_{2}}\) i \(\displaystyle{ X_{5}=X_{1}+X_{2}X_{3}}\).

2. Policzyć rozkład \(\displaystyle{ X_{4}}\) i \(\displaystyle{ X_{5}}\).

3. Policzyć bezpośrednio \(\displaystyle{ E[X_{4}|X_{5}]}\) rozważając 3 przypadki:

\(\displaystyle{ E[X_{4}|X_{5}=2]=...}\)

\(\displaystyle{ E[X_{4}|X_{5}=0]=...}\)

\(\displaystyle{ E[X_{4}|X_{5}=-2]=...}\)

Otrzymamy, że \(\displaystyle{ E[X_{4}|X_{5}]=0}\), czyli \(\displaystyle{ E[X_{1}X_{2}|X_{1}+X_{2}X_{3}]=0}\).

II.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ X_{1}+X_{2}X_{3}=X_{1}+(-X_{2})\cdot(-X_{3})}\).

Natomiast \(\displaystyle{ X_{1}X_{2}}\) ma taki sam rozkład jak \(\displaystyle{ -X_{1}X_{2}}\),

zatem

\(\displaystyle{ E[X_{1}X_{2}|X_{1}+X_{2}X_{3}]=E[-X_{1}X_{2}|X_{1}+(-X_{2})\cdot(-X_{3})]=E[-X_{1}X_{2}|X_{1}+X_{2}X_{3}]}\)


\(\displaystyle{ 2E[X_{1}X_{2}|X_{1}+X_{2}X_{3}]=0}\)

\(\displaystyle{ E[X_{1}X_{2}|X_{1}+X_{2}X_{3}]=0}\)
ODPOWIEDZ