Dzień dobry
Zastanawiam się nad rozwiązaniami dwóch zadań, chciałbym Was prosić o zerknięcie na poprawność rozumowań w obliczaniu mocy zbiorów omega oraz A.
Zadanie 1.
Z urny zawierającej ponumerowane kule od 1 do n, losujemy k razy po jednej kuli
a) bez zwracania
b) ze zwracaniem
Obliczyć prawdopodobieństwo, że numery wylosowanych kul utworzą ciąg rosnący.
ad. a)
\(\displaystyle{ \#\Omega=n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1)}\)
\(\displaystyle{ \#A= {n \choose k}}\)
ad. b)
\(\displaystyle{ \#\Omega=n^k}\)
\(\displaystyle{ \#A= {n \choose k}}\)
Zadanie 2.
Każdy z n patyków przełamano na 2 części, krótszą i dłuższą. Otrzymano w ten sposób 2n części.
Połączone je losowo w pary z których każda tworzy nowy patyk.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) Wszystkie kawałki zostały połączone w pierwotnym układzie
b) Wszystkie długie kawałki zostaną połączone z krótkimi.
ad. a)
\(\displaystyle{ \#\Omega= {2n \choose 2} {2n-2 \choose 2}\cdot ... \cdot {2 \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ \#A= n!}\)
ad. b)
\(\displaystyle{ \#\Omega= {2n \choose 2} {2n-2 \choose 2}\cdot ... \cdot {2 \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ \#A= {n \choose 1}^2{n-1 \choose 1}^2\cdot ... \cdot{1 \choose 1}^2}\)
Wiem, że podobne zadania były już rozwiązywane na forum, lecz moje rozumowanie jest inne niż w tamtych przypadkach, dlatego pozwoliłem sobie zapytać o poprawność mojego rozumowania.
Sprawdzenie - p.klasyczne
- Yelon
- Użytkownik
- Posty: 560
- Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 91 razy
- Pomógł: 67 razy
Sprawdzenie - p.klasyczne
zadanie 1. Omegi są ok, ale dziwnie wyglądają moce zbiorów. No bo kule mamy ponumerowane, to czemu stosujesz kombinacje bez powtórzeń? Ilość podzbiorów k-elementowych, będzie większa niż k-elementowych ciągów dodatnich. Poza tym, sama nazwa "podzbiór" sugeruje, że kolejność elementów jest nie istotna. Tak więc wydaje mi się, że trzeba wyjść od wariacji bez powtórzeń ( w podpunkcie b - z powtórzeniami), dokładając warunki na porządek między wyrazami (chcemy mieć ciąg rosnący).
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Sprawdzenie - p.klasyczne
Okazało się, że na ćwiczeniach mój sposób został zaakceptowany i te rozumowanie jest poprawne. To taka informacja gdyby ktoś kiedyś próbował podobnie.