Z egzaminu na doradcę inwestycyjnego

[martin21]

Proszę o pomoc w zadaniu:
Strzelec A trafia w cel X z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\), a strzelec B z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,85}\). Jeżeli obaj strzelcy oddali po \(\displaystyle{ 2}\) strzały do tego samego celu X, a w celu X znaleziono dwie przestrzeliny, to jakie jest prawdopodobieństwo, strzelec B dwukrotnie chybił? Wskaż najbliższą liczbę.


A: \(\displaystyle{ 0,28;}\)
B: \(\displaystyle{ 0,44;}\)
C: \(\displaystyle{ 0,53;}\)
D: \(\displaystyle{ 0,98.}\)

Pozdrawiam,
Marcin

[miodzio1988]

zastosuj wzor na pstwo warunkowe

[martin21]

Dziękuję za odpowiedź.

Jeżeli są dwa nietrafienia, to są trzy możliwości:
chybił A i chybił B\(\displaystyle{ = 0,95 \times 0,05 \times 0,85 \times 0,15 = 0,00605625}\)
chybił A i chybił A \(\displaystyle{ = 0,05 \times 0,05 \times 0,85 \times 0,85 = 0,00180625}\)
Chybił B i Chybił B \(\displaystyle{ = 0,95 \times 0,95 \times 0,15 \times 0,15 = 0,02030625}\)

Prawdopodobieństwo dwóch nietrafień wynosi \(\displaystyle{ 0,02816875}\)
Prawdopodobieństwo dwóch nietrafień przez strzelca B, przy dwóch trafieniach strzelca A wynosi \(\displaystyle{ 0,02030625}\)

Teraz liczę:
\(\displaystyle{ P = \frac{0,02030625}{0,02816875} = 0,72}\)
Wyniku takiego nie ma i na logikę wydaje mi się, że to jest wynik za wysoki.

Gdzie robię błąd ?

[Premislav]

Jestem zbyt zmęczony, żeby szukać błędu u innych, ale napiszę, jak ja robiłbym to zadanie. Jest sobie coś takiego, co się nazywa wzór Bayesa, a wyprowadza się to bodaj z prawdopodobieństwa warunkowego i wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Na początek garść oznaczeń, żeby uzwięźlić zapis: niech \(\displaystyle{ B0}\) - prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ B}\) chybił dwa razy (a więc trafił zero razy), analogicznie \(\displaystyle{ A0}\) - prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ A}\) chybił dwa razy etc. tj. \(\displaystyle{ B1}\) i tak dalej (chyba się połapiesz w tym).
Wiemy, że zaszło zdarzenie "dwie dziury" (czyli dwa trafienia, a więc i dwa nietrafienia, bo ogółem były cztery strzały) - nazwijmy je \(\displaystyle{ X2}\) i pytamy o takie prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(B0|X2)}\). Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego jest to równe
\(\displaystyle{ \frac{\mathbb{P}(B0 \cap X2)}{\mathbb{P}(X2)}}\)
Teraz, znów z (przekształconego) wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe zapiszmy licznik jako
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X2|B0)\mathbb{P}(B0)}\), zaś w mianowniku rozważmy rozbicie na takie partycje, czy jak to się zwało: zaszło któreś ze zdarzeń \(\displaystyle{ B0}\), \(\displaystyle{ B1}\) oraz \(\displaystyle{ B2}\). Ze wzoru a prawdopodobieństwo całkowite możemy zapisać, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X2)=\mathbb{P}(X2|B0)\mathbb{P}(B0)+\mathbb{P}(X2|B1)\mathbb{P}(B1)+\mathbb{P}(X2|B2)\mathbb{P}(B2)}\). Czyli dostaliśmy taki ilorazik (mniam, brzmi jak zrazik):
\(\displaystyle{ \frac{\mathbb{P}(X2|B0)\mathbb{P}(B0)}{\mathbb{P}(X2|B0)\mathbb{P}(B0)+\mathbb{P}(X2|B1)\mathbb{P}(B1)+\mathbb{P}(X2|B2)\mathbb{P}(B2)}}\)
Teraz liczenie poszczególnych prawdopodobieństw: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B0), \mathbb{P}(B1)}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B2)}\) (dla przypomnienia - to pierwsze to dwa chybienia, a to ostatnie to dwa trafienia) Ci zostawię do policzenia, natomiast mamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X2|B0)=\mathbb{P}(A2)}\), \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X2|B2)=\mathbb{P}(A0)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X2|B1)=\mathbb{P}(A1)}\) (czy rozumiesz, dlaczego? No gdy \(\displaystyle{ B}\) dwa razy nie trafił, to wtedy \(\displaystyle{ A}\) musiałby dwa razy trafić, żeby były dwie przestrzeliny etc.). Aha, zwróć uwagę, że (tego ewidentnie nie liczyłeś) np. gdy \(\displaystyle{ A}\) raz trafi, a raz chybi, to może najpierw trafić, a potem chybić, a może być też na odwrót, więc musisz pomnożyć przez dwa.
Może podam wynik, który otrzymałem, gdybyś chciał sprawdzić:
\(\displaystyle{ 0,438225\approx 0,44}\)

Co zabawne, najpierw policzyłem to źle (co po zastanowieniu wykryłem), ale wyszłaby dobra najbliższa odpowiedź. To pokazuje, że testy ABCD są do kitu.

[miodzio1988]

Już wczoraj z martin21 to rozpracowaliśmy

Licznik u martin21 jest ok. Minownik trzeba zmienić na

\(\displaystyle{ 0.95 \cdot 0.05 \cdot 0.85 \cdot 0.15 \cdot 4+0.95 \cdot 0.95 \cdot 0.15 \cdot 0.15+ 0.05 \cdot 0.05 \cdot 0.85 \cdot 0.85}\)

Razy 4 bo rozrozniamy kolejnosc trafien czyli chybil A trafil B chybil B trafil A to cos innego niz trafil B chybil A chybil B trafil A

i tak 4 razy.

Wtedy wynik to

\(\displaystyle{ 0.02030625/0.0463375 \\
= 0.438225}\)

więc odp B

[stasieczekk]

Nie chciałbym nic mowić, ale podobne zadanie miałem na maturze. To jest zadanie na doradcę inwestycyjnego?

[martin21]

Tak. To zadanie z I etapu egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego. Jest 110 zadań i w tym kilka jest ze statystyki.