Rachunek prawdopodobieństwa- WYKAŻ ŻE

[Bambuko]

Witajcie, mam kilka zadań z rachunku prawdopodobieństwa których nie potrafię zrobić, proszę was o pomoc
} cup ... cup H_{n}[/latex]
2) \(\displaystyle{ H_{i} \cap H_{j} = \emptyset dla i \neq j}\)
3) \(\displaystyle{ P( H_{I} )>0 dla i \in \left\{ 1,2,...,n\right\}}\), to

\(\displaystyle{ P(A) = P(A| H_{1} )P( H_{1} )+P(A| H_{2} )P( H_{2} ) +...+P(A| H_{N} )P( H_{N} )}\)

2. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ 1,2,...,n\right\}, P\left( \left\{ k\right\} \right) = \frac{1}{n} dla k \in \left\{ 1,2,...,n\right\}}\) i n jest liczba pierwszą, to nie istnieją zdarzenia A,B niezależne, takie że \(\displaystyle{ 0<P(A)<1}\) i \(\displaystyle{ 0<P(B)<1}\)


3. 2. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ 1,2,...,n\right\}, P\left( \left\{ k\right\} \right) = \frac{1}{n} dla k \in \left\{ 1,2,...,n\right\}}\) , \(\displaystyle{ A \subset \Omega i \left| A\right| = m i NWD(m,n) = 1}\), to nie istnieje żadne zdarzenie B niezależne z A, takie, że \(\displaystyle{ 0<P(B)<1}\)


4. Aby zakwalifikować się do finału zawodnik musi z pozytywnym wynikiem przejść przez co najmniej cztery spośród siedmiu testów. Jeżeli zawodnik będzie się przygotowywał do wszystkich siedmiu testów, to prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w każdym z tych testów jest równe 0,5. Jeżeli zawodnik będzie przygotowywał się do pięciu testów, to prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w każdym z tych testów jest równe 0,8. Który z wymienionych sposobów przygotowania się jest najkorzystniejszy dla zawodnika?

[Premislav]

3. Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie zdarzeniem niezależnym z \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B)}\). Równoważnie (bo \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)= \frac{m}{n}}\)) mamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A\cap B)= \frac{m}{n}\mathbb{P}(B)}\), a więc zakładając nie wprost, że \(\displaystyle{ 0<\mathbb{P}(B)<1}\), możemy zapisać \(\displaystyle{ \frac{m}{n}= \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}}\). Ale skoro \(\displaystyle{ \NWD(m,n)=1}\), to ułamek \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) jest nieskracalny. Dalej zauważ, że wobec definicji f. prawdopodobieństwa z tego zadania masz
\(\displaystyle{ \frac{\mathbb{P}(C)}{\mathbb{P}(D)}= \frac{\text{moc} (C)}{\text{moc} (D)}}\). Wnioski?

-- 11 paź 2015, o 18:18 --

Oczywiście powyższe działa, o ile \(\displaystyle{ \mathbb{P}(D)}\) (u nas w konkretnym przypadku \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B)}\)) jest niezerowe, ale to zakładamy nie wprost.

4. Beznadziejne, kto w ogóle wymyśla takie zadania?? Próby Bernoulliego, w pierwszym wypadku prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie \(\displaystyle{ 0,5}\), w drugim przypadku prawdopodobieństwo sukcesu w poj. próbie \(\displaystyle{ 0,8}\).