Prawdopodobieństwo -doświadczenie polega na...

[Bambuko]

Doświadczenie polega na n−krotnym \(\displaystyle{ n \ge 2}\) rzucie symetryczną monetą. Wyznacz wartość n, dla
którego zdarzenia:

A − otrzymamy co najwyżej jednego orła.
B − otrzymamy co najmniej jednego orła i co najmniej jedną reszkę

są niezależne.

Bardzo proszę o pomoc.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)= \frac{n+1}{2^{n}} \\ \mathbb{P}(B)= \frac{2^{n}-2}{2^{n}}}\)
Niezależność zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\): \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B)}\)
Objaśnienie: aby był dokładnie jeden orzeł, wybieramy na \(\displaystyle{ n}\) sposobów ten jeden rzut, w którym takowy wypadnie, a w pozostałych mają wypaść same reszki. Może też nie wypaść żaden orzeł, mamy tylko jeden tak przypadek (same reszki). A co do \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B)}\), to powinno to byc jasne: bierzemy wszystkie ustawienia i odrzucamy takie, w których nie ma ani jednego orła lub nie ma ani jednej reszki (są tylko dwie takie możliwości - wypadło \(\displaystyle{ n}\) orłów albo wypadło \(\displaystyle{ n}\) reszek).
Wnioski?

-- 11 paź 2015, o 15:03 --

Aha, \(\displaystyle{ A\cap B}\) to "wypadł dokładnie jeden orzeł", z wyznaczeniem \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A\cap B)}\) sobie już chyba poradzisz na podstawie tego, co napisałem.

[Bambuko]

Muszę jeszcze wyznaczyć \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\) żeby obliczyć \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\), i potem podstawiać kolejne wartości za n? I sprawdzać czy są niezależne?

[Premislav]

Po co Ci \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A \cup B)}\)? Niby tak to można liczyć, ale to strata czasu. \(\displaystyle{ A \cap B}\) oznacza, że zarazem wypadł co najwyżej jeden orzeł i wypadły zarówno orły (w liczbie co najmniej jeden), jak i reszki (w liczbie co najmniej jeden). Czyli wypadł dokładnie jeden orzeł, a jak policzyć p-stwo tego zdarzenia (pod warunkiem, że moneta jest symetryczna oraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\text{upadnie na kant })=0}\)!!!), to już napisałem.