Wartość oczekiwana, wariancja (jednoczesny rzut monetami)

[andreaS6]

Dane są 2 niesymetryczne monety A i B. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła przy rzucie monetą A wynosi \(\displaystyle{ p _{A} = 0,25}\) , przy rzucie monetą B wynosi ono \(\displaystyle{ p _{B} = 0,75}\) . Otrzymując orła gracz wygrywa, w przypadku reszki - przegrywa. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję wygranej gracza w sytuacji jednoczesnego rzutu monetami A i B.

Nie mam problemu z wyliczeniem wartości oczekiwanej i wariancji dla poszczególnych monet; nie wiem natomiast jak obliczyć podane charakterystyki wygranej gracza podczas jednoczesnego rzutu.

Czy mógłby mi ktoś pomóc?

[SlotaWoj]

Przyporządkowując jednemu rzutowi cyfry binarne: \(\displaystyle{ 0=\mbox{reszka}}\) i \(\displaystyle{ 1=\mbox{orzeł}}\), to dla dwóch rzutów (są one niezależne), w którym rzutowi monetą „preferującą” reszkę odpowiada lewa cyfra binarna (w drugiej kolumnie), a rzutowi drugą monetą – prawa cyfra, mamy prawdopodobieństwa (trzecia kolumna):

• \(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  \hline
  0&00&3/16&-1 \\ \hline
  1&01&9/16& 0 \\ \hline
  2&10&1/16& 0 \\ \hline
  3&11&3/16& 1 \\ \hline
  \end{tabular}}\)

Użyta powyżej zmienna losowa ze zbioru \(\displaystyle{ \{0;1;2;3\}}\) odpowiada opisowy wyniku rzutu, ale nic nie mówi nt. wyniku gry w kategoriach przegrał/remis/wygrał, który zawiera czwarta kolumna tabeli. Można użyć tej wartości jako nowej zmiennej losowej i wtedy mamy:

• \(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|}
  \hline
  -1& 3/16 \\ \hline
  0&10/16 \\ \hline
  1& 3/16 \\ \hline
  \end{tabular}}\)

Dalej pewnie już sobie poradzisz.