Cześć!
Od kilku dni próbuję zrozumieć definicję progresywnej mierzalności. Niestety kompletnie mi nie idzie. Nie widzę różnicy między adaptowalnością a progresywną mierzalnością. Nie wiem, po co to pojęcie jest wprowadzane.
... s&part=Ch4
Tutaj można w jednym z podrozdziałów o tym przeczytać.
Dziękuję za pomoc.-- 2 paź 2015, o 23:53 --Hmmm, po prawie 3h przemyśleń doszedłem do kilku wniosków. Prosiłbym Was o sprawdzenie, czy przypadkiem gdzieś nie kłamię po drodzę. Zacznę od tego, że proces stochastyczny to funkcja dwóch zmiennych. Zmiennej czasowej \(\displaystyle{ t}\) i zmiennej losowej \(\displaystyle{ \omega}\). I jeśli mówimy o adaptowalności procesu stochastycznego, to oczywiście mamy na myśli, że \(\displaystyle{ \forall_t , \ X_t(\omega) \in \mathcal{F}_t}\). I tutaj biorę sobie konkretny czas \(\displaystyle{ t}\). W tejże chwili mam pewne doświadczenie losowe \(\displaystyle{ X_t}\) i ono ma być mierzalne względem odpowiedniego podsigma-ciała. Więc tę mierzaność sprawdzam tutaj z osobna dla każdego \(\displaystyle{ t}\). Natomiast, gdy mowa o progresywnej mierzalności, to chce mieć jakoby mierzalność ze względu na obie zmienne. To znaczy, że nie biorę już jednego czasu i jednej zmiennej losowej z tego czasu. Tutaj biorę wszystkie zmienne losowe do tego czasu i patrze czy one wszystkie są mierzalne względem odpowiedniego produktowego sigma-ciała. Czy o to tutaj chodzi?
progresywna mierzalność
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
progresywna mierzalność
Jeżeli proces jest adaptowany to \(\displaystyle{ \forall t\in\mathcal{T} X_{t}\in\mathcal{F}_{t}}\) - czyli tak jak napisałeś.
Zauważ, że tutaj \(\displaystyle{ t}\) jest deterministyczne.
Nie jest jednak wówczas prawdą, że dla momentu stopu \(\displaystyle{ \tau}\) mamy \(\displaystyle{ X_{\tau}\in\mathcal{F}_{\tau}}\).
Co to jest moment stopu i co to jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau}}\) doczytasz.
Zaszła zatem potrzeba upgrade'owania definicji adaptowalności procesu stochastycznego.
Zatem progresywna mierzalność to jest warunek techniczny, aby dla momentu stopu \(\displaystyle{ \tau}\) zachodziło \(\displaystyle{ X_{\tau}\in\mathcal{F}_{\tau}}\).
Być może progresywna mierzalność ma inne fajne własności ale powyższa wg. mnie jest najważniejsza, gdyż w analizie stochastycznej często używamy momentów stopu.
Zauważ, że tutaj \(\displaystyle{ t}\) jest deterministyczne.
Nie jest jednak wówczas prawdą, że dla momentu stopu \(\displaystyle{ \tau}\) mamy \(\displaystyle{ X_{\tau}\in\mathcal{F}_{\tau}}\).
Co to jest moment stopu i co to jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau}}\) doczytasz.
Zaszła zatem potrzeba upgrade'owania definicji adaptowalności procesu stochastycznego.
Zatem progresywna mierzalność to jest warunek techniczny, aby dla momentu stopu \(\displaystyle{ \tau}\) zachodziło \(\displaystyle{ X_{\tau}\in\mathcal{F}_{\tau}}\).
Być może progresywna mierzalność ma inne fajne własności ale powyższa wg. mnie jest najważniejsza, gdyż w analizie stochastycznej często używamy momentów stopu.
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
progresywna mierzalność
Alef, wiem co to moment stopu i wiem, co to sigma ciało \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau}}\). Ale nadal nie wiem dlaczego niby \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) nie jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau}}\) mierzalne?
progresywna mierzalność
Wytłumaczenie możesz znaleźć nawet w tym linku co podałeś.
Jeżeli \(\displaystyle{ \tau}\) jest momentem stopu to czy zmienna losowa \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) zawsze istnieje?
Otóż nie. Jest dobrze określona tylko na zbiorze \(\displaystyle{ \{\omega\colon \tau(\omega)<+\infty\}}\). Dla \(\displaystyle{ \tau=+\infty}\) nie bardzo wiadomo co to jest \(\displaystyle{ X_{+\infty}}\). Trzeba zatem określić co rozumiemy przez to, że \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) jest \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) mierzalny. Wprowadza się zatem definicję sigma ciała \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) .
Następnie z pomocą przychodzi progresywna mierzalność i Stwierdzenie 4.6 które masz w linku który podałeś.
Podsumowując:
Jeżeli proces stochastyczny jest adaptowany to \(\displaystyle{ X_{t}}\) jest dobrze określone i wiemy, że \(\displaystyle{ \forall t\in\mathcal{T} X_{t}\in\mathcal{F}_{t}.}\)
Gdyby wziąć \(\displaystyle{ X_{\tau}}\), to \(\displaystyle{ X_{+\infty}}\) nie ma sensu., stąd nie wiadomo co to miała by być ta \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) mierzalność \(\displaystyle{ X_{\tau}}\).
Trzeba więc to jakoś "załatać". Po to mamy progresywną mierzalność dzięki której \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) jest \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) mierzalny.
Przynajmniej ja to tak rozumiem
Jeżeli \(\displaystyle{ \tau}\) jest momentem stopu to czy zmienna losowa \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) zawsze istnieje?
Otóż nie. Jest dobrze określona tylko na zbiorze \(\displaystyle{ \{\omega\colon \tau(\omega)<+\infty\}}\). Dla \(\displaystyle{ \tau=+\infty}\) nie bardzo wiadomo co to jest \(\displaystyle{ X_{+\infty}}\). Trzeba zatem określić co rozumiemy przez to, że \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) jest \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) mierzalny. Wprowadza się zatem definicję sigma ciała \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) .
Następnie z pomocą przychodzi progresywna mierzalność i Stwierdzenie 4.6 które masz w linku który podałeś.
Podsumowując:
Jeżeli proces stochastyczny jest adaptowany to \(\displaystyle{ X_{t}}\) jest dobrze określone i wiemy, że \(\displaystyle{ \forall t\in\mathcal{T} X_{t}\in\mathcal{F}_{t}.}\)
Gdyby wziąć \(\displaystyle{ X_{\tau}}\), to \(\displaystyle{ X_{+\infty}}\) nie ma sensu., stąd nie wiadomo co to miała by być ta \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) mierzalność \(\displaystyle{ X_{\tau}}\).
Trzeba więc to jakoś "załatać". Po to mamy progresywną mierzalność dzięki której \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) jest \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) mierzalny.
Przynajmniej ja to tak rozumiem
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
progresywna mierzalność
Alef, czyli rozchodzi się tylko o tę nieskończoność? I po to cała ta "zadyma" z progresywną mierzalnością?
progresywna mierzalność
Nie jestem w stanie powiedzieć Ci jednoznacznie czy tylko o to chodzi.
Na pewno to jest jeden z bardzo ważnych powodów.
Na pewno to jest jeden z bardzo ważnych powodów.
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
progresywna mierzalność
Alef, nadal jednak nie wiem, dlaczego pojawia się problem wykazania, że \(\displaystyle{ X_{\tau} \in \mathcal{F}_{\tau}}\) . Wskazałbyś mi może taka zmienną, dla której coś się psuję?
progresywna mierzalność
Nie rozumiem pytania.
\(\displaystyle{ au(omega)in[0,+infty)cup{+infty}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ au(omega)in[0,+infty)}\), to nie ma problemu. Adaptowalność procesu wystarczy, żeby \(\displaystyle{ X_{\tau} \in \mathcal{F}_{\tau}}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ \tau(\omega)=+\infty}\), to
1. \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{+\infty}=\sigma\left( \bigcup_{s \ge 0}^{+\infty} \mathcal{F}_{s}\right)}\) - ma sens
2. \(\displaystyle{ X_{+\infty}}\) - nie zawsze ma sens, bo nawet jeżeli byś zdefiniował
\(\displaystyle{ X_{+\infty}(\omega)=\lim_{t\to+\infty}X_{t}(\omega)}\)
to ta granica nie zawsze istnieje.
W tym przypadku adaptowalność procesu nie wystarczy, żeby \(\displaystyle{ X_{\tau} \in \mathcal{F}_{\tau}}\) miało sens.
Bardziej pomóc nie mogę. Może teraz ktoś inny dorzuci coś od siebie
\(\displaystyle{ au(omega)in[0,+infty)cup{+infty}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ au(omega)in[0,+infty)}\), to nie ma problemu. Adaptowalność procesu wystarczy, żeby \(\displaystyle{ X_{\tau} \in \mathcal{F}_{\tau}}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ \tau(\omega)=+\infty}\), to
1. \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{+\infty}=\sigma\left( \bigcup_{s \ge 0}^{+\infty} \mathcal{F}_{s}\right)}\) - ma sens
2. \(\displaystyle{ X_{+\infty}}\) - nie zawsze ma sens, bo nawet jeżeli byś zdefiniował
\(\displaystyle{ X_{+\infty}(\omega)=\lim_{t\to+\infty}X_{t}(\omega)}\)
to ta granica nie zawsze istnieje.
W tym przypadku adaptowalność procesu nie wystarczy, żeby \(\displaystyle{ X_{\tau} \in \mathcal{F}_{\tau}}\) miało sens.
Bardziej pomóc nie mogę. Może teraz ktoś inny dorzuci coś od siebie