P-stwo znalezienia się każdego pasażera w innym wagonie

[jenek]

Dzień dobry, mam takie zadanie:

Na peronie dworca kolejowego czekało na pociąg \(\displaystyle{ 8}\) osób. Nadjechał skład, złożony z \(\displaystyle{ 10}\) numerowanych wagonów. Pasażerowie wsiadali do losowo wybranego wagonu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z nich znalazł się w innym wagonie?

Wiem, że można rozwiązać to zadanie rozpatrując ciągi postaci \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, ..., a_{8})}\), gdzie wyraz \(\displaystyle{ a_{i}}\) oznacza wagon, do którego wsiadł \(\displaystyle{ i}\)-ty pasażer dla \(\displaystyle{ i \in \left[ 1;8\right].}\) Wszystkich sposobów, na które 10 osób może wsiąść do 8 wagonów jest \(\displaystyle{ 10^{8}}\). Jeżeli każdy pasażer ma wybrać inny wagon, to jest na to \(\displaystyle{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot ... \cdot 3}\) sposobów.

Jednocześnie, zastanawiam się czy można dojść do prawidłowego rozwiązania wykorzystując kombinacje zamiast wariacji? Na przykład, liczba sposobów umieszczenia \(\displaystyle{ 8}\) pasażerów w \(\displaystyle{ 10}\) wagonach wynosiłaby: \(\displaystyle{ 8+10-1 \choose 8}\) (liczba kombinacji z powtórzeniami). Pytam, ponieważ już próbowałem to policzyć i nie bardzo to wygląda.

Dodatkowo, jeżeli rozpiszę wszystkie przypadki dla, przykładowo, \(\displaystyle{ 3}\) wagonów i \(\displaystyle{ 2}\) pasażerów:

W tabeli wagony oznaczone są kolejno numerami: \(\displaystyle{ I}\), \(\displaystyle{ II}\) i \(\displaystyle{ III}\).
Numery od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 6}\) oznaczają kolejne kombinacje.
\(\displaystyle{ x}\) oznacza pasażera.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c}
\hline
& I & II & III\\ \hline
1. & xx & &\\ \hline
2. & & xx &\\ \hline
3. & & & xx\\ \hline
4. & x & x &\\ \hline
5. & x & & x\\ \hline
6. & & x & x \\ \hline
\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ {2+3-1 \choose 2} = 6}\) - wszystkich sposobów na rozmieszczenie \(\displaystyle{ 2}\) pasażerów w \(\displaystyle{ 3}\) wagonach.

\(\displaystyle{ {3 \choose 2} = 3}\) - na tyle sposobów można wybrać \(\displaystyle{ 2}\) wagony spośród \(\displaystyle{ 3}\), w których znajdą się pasażerowie.

Prawdopodobieństwo wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{6}}\), a metodą wspomnianą na początku \(\displaystyle{ \frac{6}{9}}\). Dlaczego nie można tego liczyć w ten sposób?

P.S. Temat umieściłem w dziale Kombinatoryka, ponieważ ze zliczeniem mam właściwy problem.

[Kartezjusz]

Ponieważ nie obchodzi nas w jakiej kolejności zajmują wagony. One są różne, ale pasażerowie już nie.

[jenek]

Dziękuję za odpowiedź. Czyli w obu przypadkach prawdopodobieństwa zostały obliczone poprawnie, a różne wartości tych prawdopodobieństw wynikają jedynie z faktu, że w pierwszym pasażerowie są rozróżnialni a w drugim są nierozróżnialni?