Warunek konieczny i dostateczny jednakowej całkowalności

[leszczu450]

Cześć!

Męczę się trochę z dowodem następującego twierdzenia:

Zmienne losowe \(\displaystyle{ (X_t)_{t \in T}}\) są jednakowe całkowalne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \sup_{t}\mathbb{E}|X_t|< \infty}\).

"\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)"

Załóżmy, że \(\displaystyle{ (X_t)}\) jest jednakowo całkowalna. Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(|X_t|, A) \le rP(A)+ \mathbb{E}(|X_t|, |X_t|>r)}\)

Skąd ta nierówność?

Z góry dziękuję za pomoc : )

[bartek118]

Zapisz to jako całki, to zobaczysz

[Alef]

To "twierdzenie" nie jest prawdziwe.

Brakuje Ci jednego warunku:



Prawdą jest natomiast:

Jeżeli \(\displaystyle{ \mathbb{E}[\sup_{t}|X_t|]< \infty}\), to rodzina zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_t)_{t \in T}}\) jest jednostajnie całkowalna.