Jednakowa całkowalność

[leszczu450]

Cześć!

Definicja:

Mówimy, że rodzina zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_t , t \in T}\) jest jednakowo całkowalna, gdy:

\(\displaystyle{ \lim_{r \to \infty} \sup_{t \in T} \mathbb{E}(|X_t| ; \ X_t \ge r )= 0}\)

Moje pytanie jest następujące: co mówi ten zapis?

Moim zdaniem będzie to tak:

Najpierw dla różnych \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) rysuje odpowiednie trajektorie. Ustalam sobie poziom \(\displaystyle{ r}\). Teraz wartość oczekiwaną muszę brać z funkcji losowej. Więc liczę wartość oczekiwaną, czyli odpowiednią całkę, dla wszystkich omeg. To co otrzymam po tej operacji to będzie coś zależnego od \(\displaystyle{ t}\). Biorę supremum i otrzymuję pewną liczbę. I takie coś robię dla coraz to większych \(\displaystyle{ r}\). W końcu okazuje się, że to \(\displaystyle{ r}\) będzie tak wysoko, że ... że co? I tutaj się gubię. W ogóle nie jestem pewien, czy moja interpretacja się jako taka zgadza.

Proszę o pomoc.

[Marcinek665]

W wyniku obliczenia \(\displaystyle{ \sup_{t \in T} \mathbb{E}(|X_t| ; \ X_t \ge r )}\) otrzymasz coś zależnego od \(\displaystyle{ r}\), a nie \(\displaystyle{ t}\). No i żeby warunek zaszedł, to traktujesz to jako granicę przy \(\displaystyle{ r \to \infty}\) i ma to wyjść zero.

[leszczu450]

Marcinek665, ale do końca nie rozumiem, co robię. Mógłbyś powiedzieć mi, jak Ty czytasz taki zapis? Brakuje mi intuicji.



Mam rodzinę zmiennych losowych. Liczę teraz dla każdej z tych zmiennych losowych wartość oczekiwaną po zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ \omega , \ X_t(\omega) \ge r\right\}}\). Otrzymuje co? Coś zależnego od \(\displaystyle{ r}\) w takim razie. Po to żeby z tym \(\displaystyle{ r}\) przejść teraz do granicy. Czy teraz mówię prawdę?

A teraz wpadłem na jeszcze ładniejsze opowiedzenie tego. Najpierw liczę \(\displaystyle{ \mathbb{E}(|X_t| , \ X_t \ge r)}\). Ustalam \(\displaystyle{ t}\) i ustalam \(\displaystyle{ r}\). Otrzymam coś zależnego od tych dwóch zmiennych. Teraz licząc \(\displaystyle{ \sup_{t \in T}\mathbb{E}(|X_t| , \ X_t \ge r)}\) mam ustalone tylko \(\displaystyle{ r}\). Omegi już nie mam. Otrzymuję zatem znowu coś zależnego już tylko od \(\displaystyle{ r}\). I teraz już z tym \(\displaystyle{ r}\) idę do nieskończoności i w końcu mam liczbę. I ma mi wyjść \(\displaystyle{ 0}\).

Jest ok? : )

[Kartezjusz]

Mamy rodzinę jaszczurek (zmiennych losowych), którym ogony ucinamy na poziomie \(\displaystyle{ r}\) od jej głowy i badamy, która ma ma ten ucięty kawałek ogona największy. Im dalej odetniemy tym "zwycięski" ogon ma być bliżej zera. Ogony mogą być nieskończenie długie