Cześć!
Definicja:
Mówimy, że rodzina zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_t , t \in T}\) jest jednakowo całkowalna, gdy:
\(\displaystyle{ \lim_{r \to \infty} \sup_{t \in T} \mathbb{E}(|X_t| ; \ X_t \ge r )= 0}\)
Moje pytanie jest następujące: co mówi ten zapis?
Moim zdaniem będzie to tak:
Najpierw dla różnych \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) rysuje odpowiednie trajektorie. Ustalam sobie poziom \(\displaystyle{ r}\). Teraz wartość oczekiwaną muszę brać z funkcji losowej. Więc liczę wartość oczekiwaną, czyli odpowiednią całkę, dla wszystkich omeg. To co otrzymam po tej operacji to będzie coś zależnego od \(\displaystyle{ t}\). Biorę supremum i otrzymuję pewną liczbę. I takie coś robię dla coraz to większych \(\displaystyle{ r}\). W końcu okazuje się, że to \(\displaystyle{ r}\) będzie tak wysoko, że ... że co? I tutaj się gubię. W ogóle nie jestem pewien, czy moja interpretacja się jako taka zgadza.
Proszę o pomoc.
Jednakowa całkowalność
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Jednakowa całkowalność
W wyniku obliczenia \(\displaystyle{ \sup_{t \in T} \mathbb{E}(|X_t| ; \ X_t \ge r )}\) otrzymasz coś zależnego od \(\displaystyle{ r}\), a nie \(\displaystyle{ t}\). No i żeby warunek zaszedł, to traktujesz to jako granicę przy \(\displaystyle{ r \to \infty}\) i ma to wyjść zero.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Jednakowa całkowalność
Marcinek665, ale do końca nie rozumiem, co robię. Mógłbyś powiedzieć mi, jak Ty czytasz taki zapis? Brakuje mi intuicji.
Mam rodzinę zmiennych losowych. Liczę teraz dla każdej z tych zmiennych losowych wartość oczekiwaną po zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ \omega , \ X_t(\omega) \ge r\right\}}\). Otrzymuje co? Coś zależnego od \(\displaystyle{ r}\) w takim razie. Po to żeby z tym \(\displaystyle{ r}\) przejść teraz do granicy. Czy teraz mówię prawdę?
A teraz wpadłem na jeszcze ładniejsze opowiedzenie tego. Najpierw liczę \(\displaystyle{ \mathbb{E}(|X_t| , \ X_t \ge r)}\). Ustalam \(\displaystyle{ t}\) i ustalam \(\displaystyle{ r}\). Otrzymam coś zależnego od tych dwóch zmiennych. Teraz licząc \(\displaystyle{ \sup_{t \in T}\mathbb{E}(|X_t| , \ X_t \ge r)}\) mam ustalone tylko \(\displaystyle{ r}\). Omegi już nie mam. Otrzymuję zatem znowu coś zależnego już tylko od \(\displaystyle{ r}\). I teraz już z tym \(\displaystyle{ r}\) idę do nieskończoności i w końcu mam liczbę. I ma mi wyjść \(\displaystyle{ 0}\).
Jest ok? : )
Mam rodzinę zmiennych losowych. Liczę teraz dla każdej z tych zmiennych losowych wartość oczekiwaną po zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ \omega , \ X_t(\omega) \ge r\right\}}\). Otrzymuje co? Coś zależnego od \(\displaystyle{ r}\) w takim razie. Po to żeby z tym \(\displaystyle{ r}\) przejść teraz do granicy. Czy teraz mówię prawdę?
A teraz wpadłem na jeszcze ładniejsze opowiedzenie tego. Najpierw liczę \(\displaystyle{ \mathbb{E}(|X_t| , \ X_t \ge r)}\). Ustalam \(\displaystyle{ t}\) i ustalam \(\displaystyle{ r}\). Otrzymam coś zależnego od tych dwóch zmiennych. Teraz licząc \(\displaystyle{ \sup_{t \in T}\mathbb{E}(|X_t| , \ X_t \ge r)}\) mam ustalone tylko \(\displaystyle{ r}\). Omegi już nie mam. Otrzymuję zatem znowu coś zależnego już tylko od \(\displaystyle{ r}\). I teraz już z tym \(\displaystyle{ r}\) idę do nieskończoności i w końcu mam liczbę. I ma mi wyjść \(\displaystyle{ 0}\).
Jest ok? : )
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Jednakowa całkowalność
Mamy rodzinę jaszczurek (zmiennych losowych), którym ogony ucinamy na poziomie \(\displaystyle{ r}\) od jej głowy i badamy, która ma ma ten ucięty kawałek ogona największy. Im dalej odetniemy tym "zwycięski" ogon ma być bliżej zera. Ogony mogą być nieskończenie długie