Prawdopodobieństwo - urny, koleracja r

[j0k3r]

Witam,

w związku z tym, że termin zaliczenia ze statystyki i prawdopodobieństwa się zbliża a nie mogę zrozumieć 2 zadań, proszę o rozwiązanie ( i o ile to możliwe, napisanie w możliwie jak najłatwiejszy sposób).

1) W urnie jest 6 kul białych i 4 kule czarne. Losujemy bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 5 losowaniach wyciągniemy 3 białe kule?

2) Obliczyć współczynnik korelacji r dla następujących pomiarów:
|x|-2|0|1|3|
|y|-1|1|-3|-3|

Z góry dzięki za pomoc )

[Premislav]

Zadanie pierwsze:
najpierw rozpatrzmy np. prawdopodobieństwo tego, że w pierwszych trzech losowaniach wypadną białe kule, a w ostatnich dwóch - czarne. Wynosi ono \(\displaystyle{ \frac{6\cdot 5\cdot 4 \cdot 4\cdot 3}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}}\) (chyba nie trzeba tego tłumaczyć - w pierwszym losowaniu mamy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{6}{10}}\), że trafimy na białą, potem w drugim \(\displaystyle{ \frac{5}{9}}\), bo losujemy bez zwracania, itd. ).
Potem zauważmy, że jest \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\) możliwości przydzielenia numerów losowań, w których mają wypaść trzy kule białe (wtedy automatycznie w pozostałych mają wypaść czarne), a prawdopodobieństwo zdarzenia "w trzech ustalonych losowaniach wypadły białe" nie zależy od numerów tych losowań. Czyli odpowiedź to, jak się zdaje, \(\displaystyle{ {5 \choose 3}\frac{6\cdot 5\cdot 4 \cdot 4\cdot 3}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}= \frac{10}{21}}\)
To wszystko oczywiście przy założeniu, że chodzi o dokładnie trzy kule białe, a nie co najmniej trzy.-- 17 wrz 2015, o 21:59 --Łojej, odpowiedziałem z rozpędu w nieregulaminowym temacie, w końcu zarobię bana. A dla Ciebie do przejrzenia: www.matematyka.pl/latex.htm
Klarowny zapis zwiększy szanse, że ktoś odpowie i zmniejszy ryzyko wywalenia tematu do kosza.

[janusz47]

Zadanie 1

\(\displaystyle{ X \sim HipGeo(10,5).}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{{6 \choose 3}\cdot {4\choose 2}}{{10\choose 5}} \approx 0,48.}\)

Program R

> PA=(choose(6,3)*choose(4,2))/(choose(10,5))
> PA
[1] 0.4761905

Zadanie 2

\(\displaystyle{ r = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}.}\)

\(\displaystyle{ \mu_{X}= \frac{-2+0+1+3}{4}=\frac{1}{2},}\)

\(\displaystyle{ \mu_{Y}=\frac{-1+1-3-3}{4}=-\frac{3}{2},}\)

\(\displaystyle{ X-\mu_{X}= \left ( -\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),}\)

\(\displaystyle{ Y-\mu_{Y}= \left( \frac{1}{2},\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right),}\)

\(\displaystyle{ (X-\mu_{X})(Y - \mu _{Y})= \left( -\frac{5}{4}, -\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{15}{4}\right),}\)

\(\displaystyle{ Cov(X, Y) = E(X-\mu_{X})(Y-\mu_{Y})= \frac{1}{4}\left(-\frac{5}{4}-\frac{5}{4}-\frac{3}{4}-\frac{15}{4}\right)=-\frac{7}{4},}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{X}= \sqrt{\frac{1}{4}(\frac{25}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{25}{4})}=\frac{\sqrt{13}}{2},}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{Y}= \sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{4}+\frac{25}{4}+\frac{9}{4}+\frac{9}{4})}=\frac{\sqrt{11}}{2},}\)

\(\displaystyle{ r = \frac{\frac{-7}{4}}{\frac{\sqrt{13}}{2}\cdot \frac{\sqrt{11}}{2}}=-\frac{7}{\sqrt{143}}= -0,5853694.}\)


Program R

> x<-c(-2,0,1,3)
> y<-c(-1,1,-3,-3)
> r= cor(x,y)
> r
[1] -0.5853694

[j0k3r]

Supeeer )

Dzięki Panowie, mam nadzieję, że kolokwium uda się zaliczyć )

Jakbyście mieszkali obok mnie to wisiałbym wam duże, świeże piwo.