Witam, bardzo proszę o pomoc w poniższym zadaniu. Nie mam pojęcia jak je rozwiązać.
Znajdź funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(\displaystyle{ X: b(n, u)}\) i za jej pomocą oblicz \(\displaystyle{ E(X)}\) oraz \(\displaystyle{ D^{2}(X)}\).
Funkcja charakterystyczna
-
Slim_Shady
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 25 lut 2015, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: śląsk
Funkcja charakterystyczna
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2015, o 21:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu. Nie używaj Caps Locka.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu. Nie używaj Caps Locka.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Funkcja charakterystyczna
Nie krzycz na nas, jeśli można (po co CAPS). No to leci funkcja charakterystyczna:
Niech \(\displaystyle{ X\sim b(n,u)}\) - zakładając, że to miał być rozkład Bernoulliego, no to mamy \(\displaystyle{ \mathbb{E}e^{itX}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}u^{k}(1-u)^{n-k}e^{itk}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(ue^{it})^{k}(1-u)^{n-k}}\) - teraz zwiń to ze wzoru dwumianowego Newtona i koniec tej części.
Dalsze obliczenia wykonać możesz z użyciem tego: jak masz funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \phi_{X}(t)}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), to n-ty moment tej zmiennej losowej możesz wyliczyć ze wzorku \(\displaystyle{ i^{n} \mathbb{E}X^{n}=\phi_{X}^{(n)}(0)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi_{X}^{(n)}}\) oznacza n-tą pochodną \(\displaystyle{ \phi}\) po \(\displaystyle{ t}\).-- 12 wrz 2015, o 15:02 --Aha, no i oczywiście \(\displaystyle{ D^{2}(X)=\mathbb{E}X^{2}-(\mathbb{E}X)^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ X\sim b(n,u)}\) - zakładając, że to miał być rozkład Bernoulliego, no to mamy \(\displaystyle{ \mathbb{E}e^{itX}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}u^{k}(1-u)^{n-k}e^{itk}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(ue^{it})^{k}(1-u)^{n-k}}\) - teraz zwiń to ze wzoru dwumianowego Newtona i koniec tej części.
Dalsze obliczenia wykonać możesz z użyciem tego: jak masz funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \phi_{X}(t)}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), to n-ty moment tej zmiennej losowej możesz wyliczyć ze wzorku \(\displaystyle{ i^{n} \mathbb{E}X^{n}=\phi_{X}^{(n)}(0)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi_{X}^{(n)}}\) oznacza n-tą pochodną \(\displaystyle{ \phi}\) po \(\displaystyle{ t}\).-- 12 wrz 2015, o 15:02 --Aha, no i oczywiście \(\displaystyle{ D^{2}(X)=\mathbb{E}X^{2}-(\mathbb{E}X)^{2}}\)