Cześć mam następujące zadanie:
Komputer przetwarza zadania w kolejności nadchodzenia. Czas przetwarzania każdego zadania jest wykładniczy, średni czas wynosi \(\displaystyle{ 4}\) minuty.
a)Oblicz prawdopodobieństwo, że czas wykonania zadania będzie większy niż \(\displaystyle{ 6}\) minut
b)W czasie \(\displaystyle{ t _{0} = 0}\) nadeszło nowe zadanie i od razu zostało przetwarzane. W czasie \(\displaystyle{ t _{1} = 2}\) minuty zadanie wciąż było przetwarzane. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w chwili \(\displaystyle{ t _{2} = 8}\) zadanie wciąż będzie przetwarzane Odpowiedź uzasadnij poprzez udowodnienie własności braku pamięci i wykorzystanie podpunktu a.
Z podpunktem A sobie poradziłem, ale nie wiem jak ruszyć podpunkt B. Z góry dzięki za pomoc.
Własność braku pamięci
-
Avicularia
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 25 kwie 2014, o 14:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Własność braku pamięci
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) odzwierciedla czas przetwarzania zadania. Wtedy \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ 4}\) (minuty), tj. z gęstością \(\displaystyle{ f(x)=frac{1}{4}e^{- frac{1}{4}x }1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[0,+infty)}(x)}\). Z własności braku pamięci mamy w szczególności, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X > 8|X>2)=\mathbb{P}(X>6)}\) i wstawiasz tu to, co policzyłeś w podpunkcie (a).
Dowód tego, że rozkład wykładniczy ma własność braku pamięci:
chcemy pokazać, że dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym (powiedzmy, że ogólnie z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\)) zachodzi następująca własność:
dla dowolnego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) i \(\displaystyle{ s>0}\) mamy (*)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>t+s|X>s)=\mathbb{P}(X>t)}\). Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe (i nieujemności \(\displaystyle{ t}\)) mamy, że
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>t+s|X>s)= \frac{\mathbb{P}(X>t+s)}{\mathbb{P}(X>s)}}\). Ale skoro
\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{E}xp(\lambda)}\), to mamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>t+s)= \int_{t+s}^{ +\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>s)= \int_{s}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx}\), a także \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>t)= \int_{t}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x}dx}\). Licząc te całki i podstawiając otrzymane wartości do (*), otrzymujemy tożsamość, co kończy dowód.
Dowód tego, że rozkład wykładniczy ma własność braku pamięci:
chcemy pokazać, że dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym (powiedzmy, że ogólnie z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\)) zachodzi następująca własność:
dla dowolnego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) i \(\displaystyle{ s>0}\) mamy (*)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>t+s|X>s)=\mathbb{P}(X>t)}\). Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe (i nieujemności \(\displaystyle{ t}\)) mamy, że
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>t+s|X>s)= \frac{\mathbb{P}(X>t+s)}{\mathbb{P}(X>s)}}\). Ale skoro
\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{E}xp(\lambda)}\), to mamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>t+s)= \int_{t+s}^{ +\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>s)= \int_{s}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx}\), a także \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>t)= \int_{t}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x}dx}\). Licząc te całki i podstawiając otrzymane wartości do (*), otrzymujemy tożsamość, co kończy dowód.