Wyznaczyć dystrybuantę

[Majeskas]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ \xi}\) i \(\displaystyle{ \eta}\) są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 1. Wyznaczyć dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X=\frac{\xi}{\xi+\eta}}\). Co to za rozkład?

Jedyne, co mi przychodzi do głowy, to za pomocą splotu znaleźć gęstość zmiennej \(\displaystyle{ \xi+\eta}\), ale nie wiem, czy to dobra droga. Nie wiem, jak znaleźć potem rozkład zmiennej typu \(\displaystyle{ Y/Z}\).

[Spektralny]

To jest jeden z zaskakujących faktów. Ta zmienna ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\)!

Po pierwsze zauważ, że \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ f}\) gęstość \(\displaystyle{ \xi}\). Dla \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\) mamy

• \(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}\mathsf P(X<t) & = & \mathsf P(\frac{\xi}{\xi+\eta}> \tfrac{1}{t}) \\
  & = &\mathsf P (\eta>\xi(\tfrac{1}{t}-1))\\
  & = &\int\limits_0^\infty f(x) \mathsf P(\eta > x(\tfrac{1}{t}-1))\,{\rm d}x\\
  & = & \int\limits_0^\infty e^{-x}\cdot e^{-x(\tfrac{1}{t}-1)}\,{\rm d}x\\
  & = & \int\limits_0^\infty e^{-\frac{x}{t}}\,{\rm d}x\\
  & = & t.\end{array}}\)

[Majeskas]

Czy mógłbyś objaśnić trzecią równość?

[Spektralny]

Rozważ funkcję \(\displaystyle{ g(x)= \mathsf P (\eta>x(\tfrac{1}{t}-1))}\). Jest to funkcja borelowska więc możemy zastosować wzór wiążący wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathsf E g(\xi)}\) z gęstością \(\displaystyle{ \xi}\).

[Majeskas]

Niewiele mi to rozjaśniło. Borelowskość funkcji \(\displaystyle{ g}\) nie jest dla mnie oczywista. Wiem, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}g(\xi)=\int\limits_{0}^{\infty}f(x)g(x)\,dx}\), ale nie rozumiem, jak to się ma do tego ciągu równości.

[Spektralny]

Mamy

• \(\displaystyle{ \mathsf P (\eta>\xi(\tfrac{1}{t}-1)) = \mathsf{E}\mathsf P (\eta>\xi(\tfrac{1}{t}-1)) = \mathsf{E} g(\xi).}\)

Borelowskość funkcji \(\displaystyle{ g}\) nie jest dla mnie oczywista.

Pokaż, że jest prawostronnie ciągła używając ciągłości miary.

[Majeskas]

1. Ściśle biorąc, \(\displaystyle{ X}\) prawie na pewno przyjmuje wartości w \(\displaystyle{ (0,1)}\), nie?

2. Dlaczego \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X<t)=\mathbb{P}(\tfrac{\xi}{\xi+\eta}>\tfrac1t)}\)? Jak dla mnie to \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X<t)=\mathbb{P}(\tfrac{\xi}{\xi+\eta}<t)}\), co rzeczywiście daje kolejną równość. Czy to z Twojej strony literówka, czy widzisz coś, czego nie widzę?

3. Zgodnie z Twoją wskazówką umiem pokazać, że \(\displaystyle{ g}\) jest prawostronnie ciągła, ale nie wiem, jak z tego wyciągnąć borelowskość. Może umyka mi jakiś prosty fakt z teorii miary.

4. Chyba zrozumiałem główny krok. Idea jest taka, że dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) napis \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\eta>\xi(\tfrac1t-1))}\) możemy interpretować jako stałą zmienną losową i dlatego jej wartość oczekiwana jest równa jej samej?

[Spektralny]

1. Ściśle biorąc, \(\displaystyle{ X}\) prawie na pewno przyjmuje wartości w \(\displaystyle{ (0,1)}\), nie?

Jasne, prawie na pewno.

2. Dlaczego \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X<t)=\mathbb{P}(\tfrac{\xi}{\xi+\eta}>\tfrac1t)}\)?

Błąd rachunkowy, chciałem to poprawić, ale zignorowano moją prośbę a nie mogę już edytować tamtego posta.

3. Zgodnie z Twoją wskazówką umiem pokazać, że \(\displaystyle{ g}\) jest prawostronnie ciągła, ale nie wiem, jak z tego wyciągnąć borelowskość. Może umyka mi jakiś prosty fakt z teorii miary.

Wystarczy popatrzeć na możliwe przeciwobrazy przedziałów otwartych.

4. Chyba zrozumiałem główny krok. Idea jest taka, że dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) napis \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\eta>\xi(\tfrac1t-1))}\) możemy interpretować jako stałą zmienną losową i dlatego jej wartość oczekiwana jest równa jej samej?

Tak jest!

[Majeskas]

Dzięki. Cóż, rozwiązanie wydaje mi się mocno magiczne. Zwłaszcza że jest to zadanie z egzaminu. Może mam zaćmienie, ale jakoś nie wiem, co można powiedzieć o zbiorze typu \(\displaystyle{ \left\{ x\in\mathbb{R}:\ \mathbb{P}(\eta>x(\tfrac1t-1))>u\right\}}\).

[Spektralny]

Nie musisz się zastanawiać nad tą konkretną funkcją. Zmodyfikuj ten dowód



Na egzaminie myślę, że można bez problemu powołać się na borelowskość funkcji jednostronnie ciągłych, to całkowicie standardowe.

[Majeskas]

Rozumiem, że chodzi o dowód na dole strony. Próbowałem wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \tfrac{[nx]+1}{n}}\) jest malejący, ale to wcale nie wydaje się proste. Poza tym nawet gdyby był, nie wiem, skąd wynika mierzalność funkcji \(\displaystyle{ F_n}\).

-- 12 września 2015, 23:35 --

Dobra, skoro zbiega do \(\displaystyle{ x}\) z góry, jest od pewnego miejsca monotoniczny, nieważne. Niemniej nie wiem, co z mierzalnością \(\displaystyle{ F_n}\).-- 13 września 2015, 00:22 --Oczywiście bzdura. Ciąg zbiegający z góry wcale nie musi być od pewnego momentu monotoniczny. Tyle że idea dowodu nie wymaga, żeby ciąg zbiegał monotonicznie; wystarczy, żeby zbiegał z góry. Sorry za niepotrzebny zamęt.

[Majeskas]

Rozwiązanie Spektralnego nadal wydaje mi się trochę dziwne, więc zaprezentuję to, które pokazała mi pani profesor probabilistyki, a które po zastanowieniu odbieram jako bardzo naturalne.

Dochodzimy do momentu: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\eta>\xi(\tfrac1t-1))}\). Połóżmy \(\displaystyle{ s=\tfrac1t-1}\) i rozważmy zmienną losową \(\displaystyle{ (\xi,\eta)}\). Z niezależności \(\displaystyle{ \xi}\) i \(\displaystyle{ \eta}\) mamy

\(\displaystyle{ g_{(\xi,\eta)}(x,y)=g_\xi(x)\cdot g_\eta(y)}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\eta>s\xi)=\int\limits_0^\infty\!\int\limits_{sx}^\infty g_{(\xi,\eta)}(x,y)\,dy\,dx=\int\limits_0^\infty e^{-x}\int\limits_{sx}^\infty e^{-y}\,dy\,dx=\int\limits_0^\infty e^{-x}\cdot e^{-sx}\,dx=}\)

\(\displaystyle{ =\int\limits_0^\infty e^{-x(s+1)}\,dx=\frac1{s+1}=t}\)

Dziękuję za pomoc w temacie. Tylko nadal pozostaje nie wyjaśniona dla mnie kwestia mierzalności funkcji prawostronnie ciągłej. Coś tam wymyśliłem na ten temat, ale prosiłbym o sprawdzenie.

Niech \(\displaystyle{ F\colon\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}}\) będzie funkcją prawostronnie ciągłą. Weźmy ciąg \(\displaystyle{ F_n(x)=F\left( \tfrac{[nx]+1}n\right)}\). Wówczas \(\displaystyle{ F_n}\) jest funkcją mierzalną dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_+}\).

Ustalmy \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\).

Pokażę, że

\(\displaystyle{ S_n:=\left\{ x\in X:\ F_n(x)>a\right\}= \bigcup_{s\in S_n\setminus\mathbb{Z}}\left( \tfrac{[ns]}n,\tfrac{[ns]+1}n\right)\cup(S_n\cap\mathbb{Z})}\).

"\(\displaystyle{ \subset}\)"
Niech \(\displaystyle{ x\in S_n}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ x\notin\mathbb{Z}}\), to zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{[nx]}n<\frac{nx}n<\frac{[nx]+1}n}\).

"\(\displaystyle{ \supset}\)"
Niech \(\displaystyle{ x\in\left( \tfrac{[ns]}n,\tfrac{[ns]+1}n\right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ s\in S_n\setminus\mathbb{Z}}\). Wówczas z nierówności \(\displaystyle{ \frac{[ns]}n<\frac{nx}n<\frac{[ns]+1}n}\) wynika, że \(\displaystyle{ [nx]=[ns]}\), zatem

\(\displaystyle{ F_n(x)=F\left( \tfrac{[nx]+1}n\right)=F\left( \tfrac{[ns]+1}n\right)=F_n(s)>a}\).

Zbiór \(\displaystyle{ S_n}\) jest borelowski jako suma zbioru otwartego i zbioru co najwyżej przeliczalnego. Z prawostronnej ciągłości \(\displaystyle{ F}\) wynika, że \(\displaystyle{ F_n\to F}\), więc \(\displaystyle{ F}\) jest borelowska jako granica ciągu funkcji borelowskich.

-- 30 września 2015, 16:03 --

Teraz się zorientowałem, że trzeba by zastrzec, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\) pewien podciąg ciągu \(\displaystyle{ \tfrac{[nx]+1}n}\) należy do \(\displaystyle{ X}\), żeby napis \(\displaystyle{ F\left(\tfrac{[nx]+1}n \right)}\) miał sens.