Witam, nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem. Proszę o pomoc.
Niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ \left\langle -1 , 1\right\rangle}\), a Z oznacza sumę ich modułów. Znaleźć rozkład Z. Czy jest on ciągły?
Rozkład zmiennej losowej.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Rozkład zmiennej losowej.
Najpierw może znajdźmy rozkład \(\displaystyle{ \left| X\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\)
Jest \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\left| X\right| \le t)= \begin{cases} 0, \mbox{ gdy } t \le 0\\ \frac{1}{2}\cdot 2t, \mbox{ gdy } t \in (0,1) \\1, \mbox{ gdy } t \ge 1 \end{cases}}\)
Czyli gdy \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\), to \(\displaystyle{ \left| X\right|}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ \left\langle 0,1\right\rangle}\) (a więc ma gęstość
\(\displaystyle{ f(x)=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\langle 0,1\right\rangle} (x)}\)).
Teraz tak: ponieważ \(\displaystyle{ f(t)=\left| t\right|}\) jest ciągła (a więc mierzalna!), zaś \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, to również \(\displaystyle{ \left| X\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| Y\right|}\) są niezależne, toteż
\(\displaystyle{ Z=\left| X\right|+\left| Y\right|}\) ma rozkład ciągły z gęstością będącą splotem gęstości \(\displaystyle{ \left| X\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| Y\right|}\), tj.
\(\displaystyle{ g_{Z }(x)= \int_{\RR}^{}f_{|X|}(y)h_{\left| Y\right|}(x-y)dy}\)
gdzie, jak nietrudno się domyślić, \(\displaystyle{ f_{|X|}}\) jest gęstością zmiennej losowej \(\displaystyle{ \left| X\right|}\), zaś \(\displaystyle{ h_{\left| Y\right|}}\) to gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ \left| Y\right|}\).
Czyli: \(\displaystyle{ g_{Z}(x)= \int_{\RR}^{}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\langle 0,1\right\rangle }}(y)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\langle 0,1\right\rangle }}(x-y)dy}\).
Funkcja podcałkowa jest równa \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ 1 \ge x \ge y \ge 0}\), zaś \(\displaystyle{ 0}\) w przeciwnym wypadku.
Jest \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\left| X\right| \le t)= \begin{cases} 0, \mbox{ gdy } t \le 0\\ \frac{1}{2}\cdot 2t, \mbox{ gdy } t \in (0,1) \\1, \mbox{ gdy } t \ge 1 \end{cases}}\)
Czyli gdy \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\), to \(\displaystyle{ \left| X\right|}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ \left\langle 0,1\right\rangle}\) (a więc ma gęstość
\(\displaystyle{ f(x)=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\langle 0,1\right\rangle} (x)}\)).
Teraz tak: ponieważ \(\displaystyle{ f(t)=\left| t\right|}\) jest ciągła (a więc mierzalna!), zaś \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, to również \(\displaystyle{ \left| X\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| Y\right|}\) są niezależne, toteż
\(\displaystyle{ Z=\left| X\right|+\left| Y\right|}\) ma rozkład ciągły z gęstością będącą splotem gęstości \(\displaystyle{ \left| X\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| Y\right|}\), tj.
\(\displaystyle{ g_{Z }(x)= \int_{\RR}^{}f_{|X|}(y)h_{\left| Y\right|}(x-y)dy}\)
gdzie, jak nietrudno się domyślić, \(\displaystyle{ f_{|X|}}\) jest gęstością zmiennej losowej \(\displaystyle{ \left| X\right|}\), zaś \(\displaystyle{ h_{\left| Y\right|}}\) to gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ \left| Y\right|}\).
Czyli: \(\displaystyle{ g_{Z}(x)= \int_{\RR}^{}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\langle 0,1\right\rangle }}(y)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\langle 0,1\right\rangle }}(x-y)dy}\).
Funkcja podcałkowa jest równa \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ 1 \ge x \ge y \ge 0}\), zaś \(\displaystyle{ 0}\) w przeciwnym wypadku.