Witam
Dobrze czy źle?
X sześcian z przedziału [1,4] w rozkładzie jednostajnym.
Proszę sprawdzić czy dobrze zadanie jest zrobione:
a) Wyznacz gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
b) Obliczyć watość przeciętną objętości tego sześcianu
\(\displaystyle{ f(x)=\begin {cases} \frac{1}{b-a} ,1\le x \le 4\\ 0, 1\neq x \neq 4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\begin {cases} \frac{1}{4-1}= \frac{1}{3} ,1\lex\le 4 \\ 0, 1\neq x \neq 4 \end{cases}}\)
Funkcja gęstości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4-1}= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\begin {cases} \frac{1}{3}, 1 \le x \le 4\\0, 1\neq x \neq 4 \end{cases}}\)
Objętość:
\(\displaystyle{ V= a^{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{a}= 1^{3}=1}\)
\(\displaystyle{ V_{b}= 4^{3}=64}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\begin {cases} \frac{1}{64-1}= \frac{1}{63} , 1 \le x \le 64 \\ 0, 1\neq x \neq 4 \end{cases}}\)
Proszę wybaczyć za nie doróbki ale to pierwszy mój post z tex
Rozkład jednostajny sześcian z przedziału Dobrze czy źle?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Rozkład jednostajny sześcian z przedziału Dobrze czy źle?
Jak na moje (niezbyt wprawione) oko nie za dobrze.
Wskazówki do rozwiązania:
1. a propos gęstości - zmienna losowa odzwierciedlająca objętość tego sześcianu to \(\displaystyle{ X= Y^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [1,4]}\), tj. jak już słusznie napisałeś o gęstości \(\displaystyle{ \frac{1}{3} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,4]}(x)}\). Można np. posłużyć się dystrybuantą, jak ktoś (np. ja) nie pamięta gotowych wzorów na gęstość.
Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [1,4]}\) ma postać
\(\displaystyle{ F_{Y}(t)= \begin{cases} 0, t \le 1 \\ \frac{1}{3}(t-1), t\in [1,4] \\1,t \ge 4 \end{cases}}\)
No i teraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \le t)=\mathbb{P}(Y^{3} \le t)=\mathbb{P}(Y \le \sqrt[3]{t})=F_{Y}(\sqrt[3]{t})}\). Dalej chyba umiesz "wydobyć" gęstość z dystrybuanty - różniczkujesz tam, gdzie można itd.
2. A propos wartości oczekiwanej - to można rozwiązać bez wyliczania explicite gęstości rozkładu objętości, jeśli skorzysta się z tego, że gdy \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową ciągłą o gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\), to
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^{3})= \int_{\RR}^{}x^{3}f(x) dx}\)
Pozdrawiam.
Wskazówki do rozwiązania:
1. a propos gęstości - zmienna losowa odzwierciedlająca objętość tego sześcianu to \(\displaystyle{ X= Y^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [1,4]}\), tj. jak już słusznie napisałeś o gęstości \(\displaystyle{ \frac{1}{3} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[1,4]}(x)}\). Można np. posłużyć się dystrybuantą, jak ktoś (np. ja) nie pamięta gotowych wzorów na gęstość.
Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [1,4]}\) ma postać
\(\displaystyle{ F_{Y}(t)= \begin{cases} 0, t \le 1 \\ \frac{1}{3}(t-1), t\in [1,4] \\1,t \ge 4 \end{cases}}\)
No i teraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \le t)=\mathbb{P}(Y^{3} \le t)=\mathbb{P}(Y \le \sqrt[3]{t})=F_{Y}(\sqrt[3]{t})}\). Dalej chyba umiesz "wydobyć" gęstość z dystrybuanty - różniczkujesz tam, gdzie można itd.
2. A propos wartości oczekiwanej - to można rozwiązać bez wyliczania explicite gęstości rozkładu objętości, jeśli skorzysta się z tego, że gdy \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową ciągłą o gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\), to
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^{3})= \int_{\RR}^{}x^{3}f(x) dx}\)
Pozdrawiam.