Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Avicularia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 25 kwie 2014, o 14:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Post autor: Avicularia »

Cześć. Mam takie zadanko:
System A wysyła do systemu B komunikaty w postaci ciągu bitów(czyli liczb \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\)). Prawdopodobieństwo błędy w odbiorze w przypadku nadania bitu \(\displaystyle{ 0}\) wynosi \(\displaystyle{ 0.2}\), a w przypadku bitu \(\displaystyle{ 1}\) wynosi \(\displaystyle{ 0.1}\). Częstość nadawania bitu \(\displaystyle{ 0}\) w stosunku do bitu \(\displaystyle{ 1}\) wynosi \(\displaystyle{ 4:1}\). System B odebrał bit \(\displaystyle{ 0}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że sygnał ten nie jest przekłamany?
Wynik jaki otrzymałem to w przybliżeniu \(\displaystyle{ 0.97}\), może mi ktoś powiedzieć czy dobrze to obliczyłem?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Post autor: janusz47 »

Przedstaw swoje rozwiązanie to powiemy czy dobrze.
Avicularia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 25 kwie 2014, o 14:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Post autor: Avicularia »

Wykorzystałem wzór Bayesa. \(\displaystyle{ P(B|A) = \frac{0.8.\cdot 0.8}{0.8 \cdot 0.8+ 0.2 \cdot 0.1}}\)
Na górze mam prawdopodobieństwo prawidłowego wysłania sygnału, a na dole prawdopodobieństwo wysłania sygnału i prawdopodobieństwo, że jest to sygnał przekłamany.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Post autor: janusz47 »

Zdarzenia
\(\displaystyle{ 0}\) - odebranie sygnału 0

\(\displaystyle{ NP}\) - odebranie sygnału nieprzekłamanego

\(\displaystyle{ P}\) - odebranie sygnału przekłamanego

Z treści zadania wynika, że mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ Pr(NP|0).}\)

Ze wzoru Thomasa Bayesa

\(\displaystyle{ Pr(NP|0) = \frac{Pr(0 \cap NP)}{Pr(0)}= \frac{Pr(0)Pr(NP|0)}{Pr(0)Pr(NP|0)+Pr(0)Pr(P|0)} = \frac{0,8\cdot 0,8}{0,8\cdot 0,8 +0,8\cdot 0,2}= 0.8.}\)

Na górze mamy prawdopodobieństwo odbioru sygnału 0- nieprzekłamanego.
Na dole mamy prawdopodobieństwo odbioru sygnału 0 to jest sumę prawdopodobieństw odbioru sygnału 0 odpowiednio nieprzekłamanego i przekłamanego.
Avicularia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 25 kwie 2014, o 14:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Post autor: Avicularia »

Ok, ale dlaczego \(\displaystyle{ 0.8 \cdot 0.2}\)?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Post autor: janusz47 »

Bo prawdopodobieństwo odebrania bitu 0 - przekłamanego wynosi

\(\displaystyle{ Pr(0\cap P)= Pr(0)Pr(P|0)= 0,8\cdot 0,2.}\)
Avicularia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 25 kwie 2014, o 14:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Post autor: Avicularia »

A nie przypadkiem \(\displaystyle{ 0.2 \cdot 0.1}\) ? Prawdopodobieństwo wysłania bitu \(\displaystyle{ 1}\) wynosi własnie \(\displaystyle{ 0.2}\) i odebrania go jako bitu \(\displaystyle{ 0}\)wynosi \(\displaystyle{ 0.1}\).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Prawdopodobieństwo odebrania dobrego sygnału

Post autor: janusz47 »

Chodzi o bit \(\displaystyle{ 0}\). Z treści zadania prawdopodobieństwo jego przekłamania \(\displaystyle{ P = 0,2.}\)
ODPOWIEDZ