zmienne losowe,rozkłady, łańcuch Markowa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Jo-anna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 1 cze 2013, o 21:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 26 razy

zmienne losowe,rozkłady, łańcuch Markowa

Post autor: Jo-anna »

1)Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \in Z}\) oznaczamy przez \(\displaystyle{ f_{X}(k)=P(X=k), k \in Z}\).
Niech \(\displaystyle{ X_{+}=max(0,X), X_{-}=max(0,-X)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left| X\right|=X_{+}+X_{-}}\).
Ile wynosi \(\displaystyle{ P(\left| X\right|=k)}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,2,...}\)?

2)Czy jeśli przestrzeń stanów w łańcuchu Markowa ma elementy ujemne, to znaczy, że moduł z tego łańcucha nie jest już łańcuchem Markowa?
A jak ma dodatnie, to moduł też jest łańcuchem?

3)Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną \(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=2)=1/2}\).
Zakładając, że \(\displaystyle{ P(N=k|X=z)=e^{-z}z^k/k!, z=1,2}\). Jak obliczyć \(\displaystyle{ P(N=k)}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} kP(N=k)}\)?

4)Rzucamy monetą symetryczną \(\displaystyle{ 899}\) razy, oznaczając wynik w i-tym rzucie \(\displaystyle{ X_{i}}\), gdzie\(\displaystyle{ X_{i} \in {0,1}, P( X_{1}+...+ X_{899} <450) >1/2}\). Jak to sprawdzić?

5)Czy jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ a}\), to dla \(\displaystyle{ x>0, a>t>0, P(X>x) \le \frac{a e^{-tx} }{a-t}}\)?

6)Co to jest i dlaczego tak się dzieje?
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (\frac{k}{n})^{2}x^k(1-x)^{n-k} \xrightarrow{n\to\infty }x^2}\)

7)Jeśli nie wiem czy zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), obie są z Poissona, są niezależne, to czy mogę stwierdzić, że \(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład Poissona?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

zmienne losowe,rozkłady, łańcuch Markowa

Post autor: Premislav »

4) możesz rozważyć niezależne zmienne losowe o identycznych rozkładach dwupunktowych: \(\displaystyle{ X_{1}, ...X_{899}}\), przeprowadzić standaryzację, powołać się na Centralne Twierdzenie Graniczne i skorzystać z tablic dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. W tej chwili nie nasuwa mi się żadne prostsze rozwiązanie, bo jest trochę późno, a ja jestem głupkiem.

6) a ja tak zapytam z głupia frant: a to po lewej to nie jest jakiś tam wielomian Bernsteina?
7) No raczej niekoniecznie. Niech np. \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Poi(1)}\). Jaki rozkład ma \(\displaystyle{ Z=X+X=2X}\)?

5) wygląda mi na zadanie, w którym można skorzystać z wykładniczej nierówności Czebyszewa, ale nie mogę jakoś doprowadzić tego pomysłu do końca. Dostajemy szacowanie tego po lewej z góry przez
\(\displaystyle{ \frac{\mathbb{E}e^{tX}}{e^{tx}}}\), no a skoro \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ a}\), to gęstość \(\displaystyle{ X}\) ma postać \(\displaystyle{ frac{1}{a} e^{- frac{x}{a} }1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[0,+infty)}(x)}\)
i wychodzi, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}e^{tX}}\) to jakaś taka o całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{a}e^{x\left (t- \frac{1}{a}\right)}dx}\) i może przydałoby się sprawdzić, czy
\(\displaystyle{ e^{-tx}\int_{0}^{ \infty } \frac{1}{a}e^{x\left (t- \frac{1}{a}\right)}dx \le \frac{ae^{-tx}}{a-t}}\), ale nie mogę się teraz doliczyć, bo jak wspominałem jestem tępolem.-- 28 sie 2015, o 22:18 --O rany, tu jest błąd w zapisie: \(\displaystyle{ x}\) występuje zarówno jako liczba dodatnia treści, jak i jako zmienna, przepraszam. Powiedzmy, że chcemy jednak sprawdzić czy \(\displaystyle{ e^{-tx}\int_{0}^{ \infty } \frac{1}{a}e^{s\left (t- \frac{1}{a}\right)}ds \le \frac{ae^{-tx}}{a-t}}\), niby to samo, a jednak lepiej to wygląda.
Jo-anna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 1 cze 2013, o 21:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 26 razy

zmienne losowe,rozkłady, łańcuch Markowa

Post autor: Jo-anna »

Dziękuję Ci ślicznie
Ad.4 Tak jak napisałeś, trzeba było zastosować CTG+rozkład normalny. Dla ciekawych odp brzmi NIE.

Ad.5 Tutaj również odp jest Nie, lecz ja zrobiłam to tak: za \(\displaystyle{ a}\) podstawiłam \(\displaystyle{ 1/t}\) i lewa strona wyszła mi \(\displaystyle{ e^{-tx}}\) a przyrównując do prawej strony wyszła mi sprzeczność tj. \(\displaystyle{ t^2 \le 0}\)

Ad.6 Jest to aproksymacja wielomianu Bernsteina. Mając funkcję \(\displaystyle{ f}\) ciągłą i ograniczoną, a \(\displaystyle{ x \in \left( 0,1\right)}\) to: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}f\left( \frac{k}{n} \right) {n \choose k} x^k(1-x)^{n-k}\xrightarrow{n\to\infty }f(x)}\)
ODPOWIEDZ