Wartość średnia, wariancja zmiennej losowej

[S9R5K]

Dany jest rozkład łączny dwóch zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\): \(\displaystyle{ p_{xy}(x,y) = \frac{4xy} {a^2b^2}}\). \(\displaystyle{ x \in(0, a)}\), \(\displaystyle{ y\in(0, b)}\)..Oblicz wartość średnią i wariancje \(\displaystyle{ ZL}\) \(\displaystyle{ X}\).
Oblicz korelację między \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)

Zaczynam od policzenia rozkładu brzegowego \(\displaystyle{ ZL}\) \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ f_1(x)= \int_{- \infty }^{ \infty } f(x,y)dy = \int_{0}^{b}\frac{4xy}{a^2b^2}dy = \frac{2x}{a^2}}\)


Liczę wartość średnią:
\(\displaystyle{ E(x)=\int_{- \infty }^{ \infty }x \cdot \frac{2x}{a^2}dx=\int_{0}^{a}\frac{2x^2}{a^2}dx =\frac{2a}{3}}\)

Niestety, przy liczeniu wariancji \(\displaystyle{ ZL}\) \(\displaystyle{ X}\) obliczenia stały się na tyle skomplikowane, ze stwierdziłem, ze na pewno robię coś źle.
Nie spotkałem się nigdy wcześniej z wyrażeniem "rozkład łączny dwóch zmiennych losowych" Czy to to samo co gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej ? Czy dobrze zacząłem robić to zadanie ?

[Nakahed90]

Sprawdź rachunki, bo masz drobny błąd (a może tylko literówkę) w przypadku gęstości z.l. X.
Pokaż jak liczysz wariancję, bo rachunki nie są tam skomplikowane (mając EX, możesz policzyć jeszcze \(\displaystyle{ EX^2}\) i skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ Var(X)=EX^2-(EX)^2}\), zamiast liczyć wariancję wprost z definicji).

Nie spotkałem się nigdy wcześniej z wyrażeniem "rozkład łączny dwóch zmiennych losowych" Czy to to samo co gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej ?

Tak, to jest samo.

PS. Umieszczaj całe wyrażenia w tagach (wygląda to estetyczniej), a nie tylko pojedyncze składowe, tzn:

Kod: Zaznacz cały

[tex]f_{1}(x)= int_{- infty }^{ infty } f(x,y)dy =int_{0}^{b}frac{4xy}{a^2b^2}dy [/tex]

daje
\(\displaystyle{ f_{1}(x)= \int_{- \infty }^{ \infty } f(x,y)dy =\int_{0}^{b}\frac{4xy}{a^2b^2}dy}\)

[S9R5K]

PS. Umieszczaj całe wyrażenia w tagach[...]

To prawda, dziękuje Ci za radę

Sprawdź rachunki, bo masz drobny błąd [...]

Poprawiłem rachunki-w pierwszym poście liczyłem w złych granicach.Teraz liczę wariancję ZL X.

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{\infty } \left[ \left( x- \frac{2a}{3} \right) ^2 \cdot \frac{2x}{a^2} \right] dx= \frac{a^2}{2} - \frac{8a^2}{9} + \frac{4a^2}{9}= \frac{a^2}{18}}\)

Co do korelacji między X i Y to powinienem skorzystać z tego wzoru :

\(\displaystyle{ p= \frac{C \left( X,Y \right) }{D \left( X \right) \cdot D \left( Y \right) }}\) ?
Żeby obliczyć korelację muszę więc obliczyć rozkład brzegowy tym razem dla ZL Y, jej wartość średnią, dalej jest wariancje i mając to wszystko mogę obliczyć kowariancję i korelację

[Nakahed90]

Wartość oczekiwana jest źle policzona.
Tak, z tego wzoru powinieneś skorzystać (albo można coś zauważyć, co przyśpieszy liczenie korelacji).

hint:    

Czy zmienne losowe X oraz Y są niezależne? Sprawdź to.