Dystrybuanta brzegowa zmiennej

Bataax · Post autor: **Bataax** » 27 sie 2015, o 02:24

Proszę o pomoc w zadaniu. Czy powinienem najpierw wyznaczyć gęstość brzegową Y a potem zcałkować ją uzyskując dystrybuantę brzegową? Nie potrafię wyobrazić sobie granic całkowania.

Gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ \left(X,Y \right)}\) zadana jest funkcją \(\displaystyle{ f(x,y)=1D(x,y)}\) gdzie \(\displaystyle{ D = f(x;y) \in R^{2} : x\in(0,1), y \le -x+1 ; y \ge x-1.}\) Wyznaczyc dystrybuante brzegowa zmiennej Y.

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 27 sie 2015, o 11:03

Po pierwsze to popraw zapis na regulaminowy (inaczej Twój temat może wylądować w koszu).

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dx}\)
Oczywiście dla \(\displaystyle{ y\le -1 \wedge y\ge 1}\), \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)=0}\), więc \(\displaystyle{ f_{Y}(y)=0}\).
Pozostaje Ci przypadek \(\displaystyle{ y\in (-1,1)}\). Jakie wtedy będą granice całkowania (tzn. dla jakich x-ów gęstość będzie niezerowa, gdyż tylko tam jest sens liczyć powyższą całkę)? Rysunek zbioru D może okazać się bardzo pomocny.

Bataax · Post autor: **Bataax** » 27 sie 2015, o 22:49

Niezerowa gęstośc jest dla gdy \(\displaystyle{ y \ge 0 \wedge y \le 1-x \wedge y \ge x-1.}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ y \in \left( -1,1\right)}\) będzie całka \(\displaystyle{ \int_{x-1}^{1-x}f_{(X,Y)}(x,y)dx}\) ?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 27 sie 2015, o 22:52

Zauważ, że całkujesz względem x, wiec granice dla x musisz wyznaczyć, tzn. bierzesz \(\displaystyle{ y\in[-1,1]}\) i jak się wtedy zmienia x (oczywiście chcemy aby \(\displaystyle{ (x,y)\in D}\)(rysunek może być bardzo pomocny)?

Ps. Popraw opis zbioru D, bo w temacie są dwie róźne wersje.

Bataax · Post autor: **Bataax** » 27 sie 2015, o 23:06

Mam rysunek, jest to trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ \left( 0,-1\right), \left( 1,0\right), \left( 0,1\right).}\). Gęstość jest rozłożona tak samo na całym polu trójkąta.

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 27 sie 2015, o 23:16

Rysunek jest ok, więc jak weźmiemy jakiś \(\displaystyle{ y\in [-1,1]}\), to jak się wtedy zmienia x?

Bataax · Post autor: **Bataax** » 27 sie 2015, o 23:26

Jeśli \(\displaystyle{ y \in \left( -1,0\right)}\) to \(\displaystyle{ x \in \left( 1+y , 1 \right)}\) a \(\displaystyle{ y \in \left( 0,1\right)}\) to \(\displaystyle{ x \in \left( 1-y , 0 \right)}\)?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 27 sie 2015, o 23:32

Nie (oba przedział są źle).

Ukryta treść:

Bataax · Post autor: **Bataax** » 27 sie 2015, o 23:42

A drugi to \(\displaystyle{ y \in \left( 0,1\right)}\) to \(\displaystyle{ x \in \left( 0,1-y\right)}\)?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 27 sie 2015, o 23:44

Teraz jest ok. Wypadałoby jedynie dokoptować 0 do jednego z przypadków (aby gęstość była określona w każdym punkcie).

Bataax · Post autor: **Bataax** » 27 sie 2015, o 23:52

I teraz liczę \(\displaystyle{ \int_{0}^{y+1} \frac{1}{2}dx + \int_{0}^{1-y} \frac{1}{2}dx}\) ?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 27 sie 2015, o 23:55

Nie, dlaczego dodajesz?
Masz dwa przypadki dla y, i dla każdego z nich liczysz całkę w wyznaczonych wcześniej granicach.

Bataax · Post autor: **Bataax** » 27 sie 2015, o 23:57

To prawda, masz rację. Ale funkcja którą całkuję to 1/2 tak?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 28 sie 2015, o 00:00

Dlaczego? W pierwszym poście napisałeś, że gęstość równa się 1 w zbiorze D.

Bataax · Post autor: **Bataax** » 28 sie 2015, o 00:01

Ok, wszystko jasne, wielkie dzięki za pomoc i cierpliwość