Zadania z kostką.

[super_laik]

1. Jest dziesiec monet, z ktorych dwie maja orly po obu stronach. Rzucamy wybrana losowo moneta dotad az wypadna dwa orly (niekoniecznie po kolei), ale nie wiecej niz piec razy. Obliczyc wartosc oczekiwana liczby rzutow.

2. Jest dziesiec monet, w tym dwie z orlami po obu stronach i dwie z reszkami po obu stronach (pozostale monety sa zwykle). Trzykrotnie rzucono wybrana losowo moneta. Znalezc wariancje liczby uzyskanych orlow.

Bardzo prosze o pomoc z tymi zadaniami.

[Premislav]

1. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową odzwierciedlającą liczbę wykonanych rzutów. Oczywiście \(\displaystyle{ X}\) może przyjmować tylko wartości \(\displaystyle{ 2,3,4,5}\). Jedziemy z prawdopodobieństwa warunkowego (nie wykluczam, że da się dużo sprytniej, bo to trochę mielonka) - rozważmy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) - moneta, którą rzucamy, jest symetryczna i ma orła+reszkę oraz \(\displaystyle{ B}\) - moneta, którą rzucamy, ma orła po obu stronach:
wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=2)=\mathbb{P}(X=2|A)\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(X=2|B)\mathbb{P}(B)}\) (ten zapis może być trochę niefortunny) etc.
Umiesz wyliczyć poszczególne p-stwa? Jeśli nie, to napisz gdzie grzęźniesz.
No i potem wystarczy zastosować wzór na wartość oczekiwaną dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym.
Przy czym tak to wygląda, jakby czaiła się w tym warunkowa wartość oczekiwana, ale nie wiem jeszcze za wiele o jej własnościach, więc nie chcę mieszać.
2. Tu dam sobie rozmaite rzeczy uciąć, ze da się sprytniej, ale można trochę podobnie jak w 1. policzyć wartość oczekiwaną ( tutaj - liczby uzyskanych orłów), stosując prawdopodobieństwo warunkowe, a następnie skorzystać z tego, że gdy \(\displaystyle{ \left\{ x_{i}, p_{i}\right\}}\) jest rozkładem dyskretnym z. losowej \(\displaystyle{ X}\) (gdzie \(\displaystyle{ x_{i}}\) to wartości przyjmowane przez tę zmienna losową, a \(\displaystyle{ p_{i}}\) to odpowiednie prawdopodobieństwa, z jakimi wartości te sa przyjmowane), to \(\displaystyle{ \mathbb{E}[X^{2}]= \sum_{}^{}p_{i} x_{i}^{2}}\)

[super_laik]

Tak tez to zrobilem tylko jestem ciekawy co w przypadku gdy np. w 1 zadaniu rozpatruje liczbe rzutów = 5? Wtedy biore pod uwagę przypadek gdy orzeł jest w którymś z 4 pierwszych rzutów + na 100% jest w ostatnim, oraz przypadek w którym orzeł jest w jednym z pierwszych 5 rzutów ale podczas tych pięciu nie wypadł drugi raz?

[Premislav]

No tak. Poza tym może być i tak, że nie wypadnie żaden orzeł.
To może napiszę, jak policzyłem \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=5)}\), bo rozumiem, że to jedyny problem.
Przy oznaczeniach (zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)) jak w moim poprzednim poście mamy
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=5)=\mathbb{P}(X=5|A)\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(X=5|B)\mathbb{P}(B)= \left(\frac{1}{16}+ 4\cdot \frac{1}{16} \right)\cdot \frac{4}{5}+ 0\cdot \frac{1}{5}=...}\)
[bo oczywiście jeśli wybrano monetę z dwoma orłami, to poprzestajemy na dwóch rzutach].
W tym nawiasie \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\) to prawdopodobieństwo, że w pierwszych czterech rzutach nie wypadł żaden orzeł pod warunkiem, że wylosowaliśmy monetę z orłem i reszką (no i przy założeniu symetryczności monety!), a \(\displaystyle{ 4\cdot \frac{1}{16}}\) to prawdopodobieństwo, że w czterech pierwszych rzutach wypadł dokładnie jeden orzeł pod warunkiem, że wzięliśmy takąż monetę z orłem i reszką (prosty przykład ze schematu Bernoulliego).
Wyjaśnienie (nie wiem, czy konieczne, ale na wszelki wypadek): sytuacje, w których odbędzie się piąty rzut, można podzielić na dwa przypadki: w pierwszych czterech rzutach był dokładnie jeden orzeł
bądź w pierwszych czterech rzutach w ogóle nie wypadł orzeł.
Mam nadzieję, że się nie machnąłem (nadzieja matką...).
Pozdrawiam.