wektor losowy, rozkład Dirichleta

[gienia]

\(\displaystyle{ (X,Y)}\) jest wektorem losowym o rozkładzie Dirichleta D(a,b,c) z gęstością \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{\Gamma(a+b+c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}x^{a-1}y^{b-1}(1-x-y)^{c-1}I_{T_2}(x,y)}\), gdzie \(\displaystyle{ T_2(x,y)=\{(x,y) \in (0, \infty )^2: x+y<1\}}\).

Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ U= \frac{X}{X+Y}}\).

Czy żeby znaleźć ten rozkład mam policzyć taką całkę?

\(\displaystyle{ Y= \frac{X(U-1)}{U}}\)
\(\displaystyle{ f_U(u)= \int_{0}^{1} \frac{\Gamma(a+b+c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}x^{a-1}(\frac{x(u-1)}{u})^{b-1}(1-x-\frac{x(u-1)}{u})^{c-1}dx}\)

[Nakahed90]

Wydaje mi się, że nie.
Sposób ten niestety będzie bardzo siłowy.
Dla \(\displaystyle{ t\in [0,1]}\) mamy:
\(\displaystyle{ F_{U}(t)=P(\frac{X}{X+Y}\le t)=\iint_{D}f(x,y)dxdy=I}\), gdzie
\(\displaystyle{ D=\{(x,y): x>0,y>0, x+y<1, \frac{x}{x+y}\le t\}}\)
Podstawmy:
\(\displaystyle{ u=x+y \\ uv=x}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ D=\{(u,v): 0<u<1, 0<v\le t\}}\)
oraz
\(\displaystyle{ |J|=-u}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ F_{U}(t)=I=\int_{0}^{t}\int_{0}^{1}f(uv,u(1-v))(-u)dudv}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f_{U}(t)=(F_{U}(t))'=..=Ct^{a-1}(1-t)^{b-1}}\),
gdzie C to jest stała normująca (nie jest nam nawet potrzebna jej konkretna postać, więc wszystko co stałe można do niej wciągnąć)
Tym samym dostaliśmy, że:
\(\displaystyle{ U\sim Beta(a,b)}\)

[gienia]

Jeszcze do tego jakobianu mam pytanie, bo nie jestem pewna, czy tak go się liczy: najpierw liczę jakobian dla podstawienia \(\displaystyle{ u=x+y}\), \(\displaystyle{ v= \frac{x}{x+y}}\), wychodzi mi \(\displaystyle{ |J|=- \frac{x+y}{(x+y)^2}=- \frac{1}{u}}\) i z tego liczę \(\displaystyle{ |J|^{-1}}\), tak?

[Nakahed90]

Nie, wyznaczasz stąd \(\displaystyle{ x=x(u,v)}\) oraz \(\displaystyle{ y=y(u,v)}\) i wówczas Jakobina przejścia to:
\(\displaystyle{ |J|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|}\)

A co do Twojego sposobu, to można skorzystać z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest przejściem z jednego układu do drugiego, to:
\(\displaystyle{ |J_{\varphi ^{-1}}|=\frac{1}{|J_{\varphi}|}}\)