Szansa 0,9%/1%, prawdopodobieństwo za X rzutem.

[Alzin]

Witam,
Zapewne dla was to będzie trywialne, ale ja zupełnie zapomniałem jak się takie coś liczy.
Dajmy na to, że szansa na wyrzucenie kostką liczby 3 wynosi ~16,6%. Jaka będzie szansa za x rzutem?
1) ~16,6%
2) ?
3) ?
4) ?
Jak się takie coś liczyło i jak się to nazywało? Mi jednak chodzi o 0,9%, więc dajmy na to :
1) 0,9%
2) ?
3) ?
4) ?
I muszę tak wyliczyć aż do 112 (statystycznie szansa spełni się za 111,1 razem, ale wolę zaokrąglić "w górę"). Jaka będzie szansa za tym 112 razem? Bo 100% to na pewno nie będzie, to działało inaczej, a ja całkowicie zapomniałem jak...

[Nakahed90]

Szansa wyrzucenia trzech oczek w n-tym rzucie wynosi:
\(\displaystyle{ (\frac{5}{6})^{n-1}\cdot \frac{1}{6}}\)
Wzór ten wynika z tego, że w pierwszych n-1 rzutach chcemy aby wypadła liczba oczek różne od 3 (zachodzi to z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\) w pojedynczym), a w n-tym chcemy aby wypadła liczba oczek równa 3 (zachodzi to prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)). Warto tu mieć na uwadze, że rzuty kostką są od siebie niezależne, więc szukane prawdopodobieństwo równa się iloczynowi prawdopodobieństw w poszczególnych rzutach.


Drugi przypadek robisz analogicznie, tzn. w pierwszych n-1 rzutach oczekujemy porażki (z prawdopodobieństwem 1-p), a w n-tym sukcesu (z prawdopodobieństwem p). Ogólnie rozpisany tutaj rozkład jest jedną z wersji rozkładu geometrycznego.

[Alzin]

Mógłbyś mi obliczyć i opisać to na przykładzie tej 0,9% szansy w
1) 0,9%
2) ?
3) ?
rzucie? Lub chociaż w dwóch pierwszych. Chcę mieć pewność, że dobrze to zrobię.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ n=2 \\ 0,1\cdot 0,9=0,09 \\ \\ n=3 \\ (0,1)^2 \cdot 0,9= 0,009}\)

[Alzin]

Dzięki.

-- 19 sie 2015, o 13:09 --

Czyli mając na coś 0,9% szans, szansa na to, że spełni się ono za 60 i 112 razem wynosi :
1) 0,9%
60) ~52%
112) ~99%

[Nakahed90]

Nie, z rozumowania przedstawionego wyżej wychodzi, że sukces w dokładnie w n-tej próbie wynosi:
\(\displaystyle{ (1-p)^{n-1}p}\),
gdzie p to sukces pojedynczej próby.

Zatem dla n=60 i p=0,9 mamy:
\(\displaystyle{ (1-0,9)^{59}\cdot 0,9=9\cdot 10^{-60}}\)

[Alzin]

Nie rozumiem zupełnie. Nie wiem jak ci wyszło 9 * 10 do potęgi -60, ani tym bardziej jak z tego wyciągnąć prawdopodobieństwo procentowe :/

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ (1-0,9)^{59}\cdot 0,9=0,1^{59}\cdot 0,9=10^{-59}\cdot 9\cdot 10^{-1}=9\cdot 10^{-60}}\)

A co do zamiany, to wystarczy wiedzieć, że 1 to 100%, zatem:
\(\displaystyle{ =9\cdot 10^{-58}\%}\)

[Alzin]

Skoro dla 60 :
\(\displaystyle{ (1-0,9)^{59}\cdot 0,9=9\cdot 10^{-60}}\)
To dla 112 :
\(\displaystyle{ (1-0,9)^{111}\cdot 0,9=9\cdot 10^{-112}}\)
Zgadza się?
Jeżeli tak, to ile to jest
\(\displaystyle{ 9\cdot 10^{-112}}\)
??
Bo wynik tego będzie równał się procentowej szansie, zgadza się?

[Nakahed90]

Ile to jest? Nie do końca rozumiem pytanie, chodzi Ci ile to jest procent?
\(\displaystyle{ =9\cdot 10^{-110}\%}\)

[Alzin]

Takie coś wyczytałem w internecie :

"Jeżeli prawdopodobieństwo na coś wynosi 1% podczas jednej próby, to szansa na to, że się spełni podczas 100 prób wynosi :
1 - (0.99)^100 = 0.63396765872 ~ 63.4%"

Zakładam, że to 0,99 w nawiasie to szansa na niepowodzenie (w tym wypadku 99%, a więc 0,99), a 100 to ilość prób.


Czyli szansa 0,9% dla 60 i 112 próby wyniosłyby :
60) 1 - (0.991)^60 = 0.418674 = ~41.8%
112) 1 - (0.991)^112 = 0.6367134 = 63.6%
A za 2 i 3 :
2) 1 - (0.991)^2 = 0.017919 = 1.7%
3) 1 - (0.991)^3 = 0.026757 = 2.6%

Gdyż 99,1% szans na porażkę to 0,991.

Czyli wzór na to co chciałem byłby :
\(\displaystyle{ 1-(\frac{s}{100})^{p}}\)

Gdzie s to szansa na niepowodzenie, a p to dana próba.
Czyli dałoby się to wyliczyć w takim wypadku bardzo prosto.
Szansa 0,9% dla próby 40 :
\(\displaystyle{ 1-(\frac{0,991}{100})^{40}=30,3 \%}\)

[Nakahed90]

Ale teraz piszesz o czymś innym niż w pierwszym poście. Tam napisałeś, że szukasz prawdopodobieństwa, że coś stanie się w n-tym rzucie, a tutaj że podczas n pierwszych rzutów (czyli albo w pierwszym albo w drugim albo... albo w setnym), i to są dwie różne rzeczy.

Wyliczyliśmy wcześniej szansę na zdarzenie w dokładnie n-tym rzucie, oznaczmy ją sobie \(\displaystyle{ p_{n}}\), tzn.:
\(\displaystyle{ p_{n}=p(1-p)^{n-1}}\)
Wówczas szansa, że stanie się to podczas n pierwszych rzutów jest równie sumie prawdopodobieństw w pierwszym, drugim, ..., n-tym rzucie, tzn.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}p_{k}=\sum_{k=1}^{n}p(1-p)^{n-1}=p\cdot \frac{1-(1-p)^{n}}{1-(1-p)}=1-(1-p)^n}\)

I ten wzór zgadza się z tym co przytoczyłeś w swoim poście.

[Alzin]

Cóż. Powinienem dopisać, że "za X" rzutem, ale wliczając także te poprzednie, czyli "podczas X rzutów".
Czyli przy 0,9%, szansa na to, że powiedzie się podczas ( ) 60 prób wynosi 41,8%, tak?
No to mam swój wzór. Następnym razem postaram się być bardziej precyzyjny. Przepraszam więc za powstały zamęt i dziękuję za pomoc.

[Nakahed90]

Czyli przy 0,9%, szansa na to, że powiedzie się podczas ( ) 60 prób wynosi 41,8%, tak?

Prawie, stosując przyjęte reguły zaokrągleń wychodzi 41,9%.

[Alzin]

Ta 6 po 8 jest tak mało znacząca, że ją po prostu ignoruję "wycinając" pierwsze trzy liczby po przecinku. Znaczenia to prawie nie ma, a będzie mi dużo wygodniej "wycinać" niż jeszcze zaokrąglać, bo muszę to zrobić 112 razy
No, tak czy siak już wszystko załatwione