Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) , jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach:
\(\displaystyle{ f_X(x)= \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } } e^{-x^2/4}}\),
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\frac{1}{4 \sqrt{ \pi } } e^{-x^2/16}}\).
\(\displaystyle{ f_Z(z)= \frac{1}{8 \pi } \int_{- \infty }^{ \infty } exp(- \frac{s^2}{4} ) exp(- \frac{(z-s)^2}{16} )ds=\frac{1}{8 \pi } \int_{- \infty }^{ \infty } exp(- \frac{( \sqrt{5}s- \frac{z}{ \sqrt{5} } )^2}{16} ) exp(- \frac{z^2}{20} )ds= \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } }exp(- \frac{z^2}{20} ) \frac{1}{\sqrt{2 \pi } \cdot 2 \sqrt{2} } \int_{- \infty }^{ \infty } exp(- \frac{( \sqrt{5}s- \frac{z}{ \sqrt{5} } )^2}{2 \cdot (2 \sqrt{2})^2 } )= \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } }exp(- \frac{z^2}{20} )}\)
A w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ f_Z(z)=\frac{1}{2 \sqrt{5 \pi } }exp(- \frac{z^2}{20} )}\), co jest nie tak?
liczenie splotu
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
liczenie splotu
Ostatnie przejście jest źle. Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dt=1}\)
U Ciebie jest \(\displaystyle{ \sqrt{5}s}\), więc musisz wpierw dokonać podstawienia \(\displaystyle{ t=\sqrt{5}s}\), aby móc z powyższego wzoru skorzystać.
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dt=1}\)
U Ciebie jest \(\displaystyle{ \sqrt{5}s}\), więc musisz wpierw dokonać podstawienia \(\displaystyle{ t=\sqrt{5}s}\), aby móc z powyższego wzoru skorzystać.
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
liczenie splotu
Dzięki, mam jeszcze policzyć \(\displaystyle{ Z_2=X-Y}\).
Liczę najpierw \(\displaystyle{ f_{-Y}(y)}\).
\(\displaystyle{ f_{-Y}(y)=-\frac{1}{4 \sqrt{ \pi } } e^{-(-y)^2/16}=-f_{Y}(y)}\)
Czyli wychodzi mi, że \(\displaystyle{ f_{Z_2}(z)=f_{X-Y}(z)=- \int_{\mathbb{R}}^{} f_X(s)f_Y(z-s)ds=-f_Z(z)}\)
A w odpowiedzi jest, że \(\displaystyle{ f_{Z_2}(z)=f_Z(z)}\)
Liczę najpierw \(\displaystyle{ f_{-Y}(y)}\).
\(\displaystyle{ f_{-Y}(y)=-\frac{1}{4 \sqrt{ \pi } } e^{-(-y)^2/16}=-f_{Y}(y)}\)
Czyli wychodzi mi, że \(\displaystyle{ f_{Z_2}(z)=f_{X-Y}(z)=- \int_{\mathbb{R}}^{} f_X(s)f_Y(z-s)ds=-f_Z(z)}\)
A w odpowiedzi jest, że \(\displaystyle{ f_{Z_2}(z)=f_Z(z)}\)
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
liczenie splotu
Gęstość nie może być ujemna, a \(\displaystyle{ -f_{Y}(y)}\) przyjmuje wartości ujemne, więc nie może być gęstością pewnej zmiennej losowej. Ponadto trochę inaczej wygląda postać gęstości zmiennej losowej -Y, tzn:
\(\displaystyle{ (\forall y)(f_{-Y}(y)=f_{Y}(-y))}\)
Wynika to stąd, że:
\(\displaystyle{ F_{-Y}(y)=P(-Y\le y)=P(Y\ge -y)=1-P(Y\le -y)=1-F_{Y}(-y)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ f_{-Y}(y)=(F_{-Y}(y))'_{y}=...}\)
\(\displaystyle{ (\forall y)(f_{-Y}(y)=f_{Y}(-y))}\)
Wynika to stąd, że:
\(\displaystyle{ F_{-Y}(y)=P(-Y\le y)=P(Y\ge -y)=1-P(Y\le -y)=1-F_{Y}(-y)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ f_{-Y}(y)=(F_{-Y}(y))'_{y}=...}\)