liczenie splotu

[gienia]

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) , jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach:

\(\displaystyle{ f_X(x)= \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } } e^{-x^2/4}}\),
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\frac{1}{4 \sqrt{ \pi } } e^{-x^2/16}}\).

\(\displaystyle{ f_Z(z)= \frac{1}{8 \pi } \int_{- \infty }^{ \infty } exp(- \frac{s^2}{4} ) exp(- \frac{(z-s)^2}{16} )ds=\frac{1}{8 \pi } \int_{- \infty }^{ \infty } exp(- \frac{( \sqrt{5}s- \frac{z}{ \sqrt{5} } )^2}{16} ) exp(- \frac{z^2}{20} )ds= \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } }exp(- \frac{z^2}{20} ) \frac{1}{\sqrt{2 \pi } \cdot 2 \sqrt{2} } \int_{- \infty }^{ \infty } exp(- \frac{( \sqrt{5}s- \frac{z}{ \sqrt{5} } )^2}{2 \cdot (2 \sqrt{2})^2 } )= \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } }exp(- \frac{z^2}{20} )}\)

A w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ f_Z(z)=\frac{1}{2 \sqrt{5 \pi } }exp(- \frac{z^2}{20} )}\), co jest nie tak?

[Nakahed90]

Ostatnie przejście jest źle. Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dt=1}\)

U Ciebie jest \(\displaystyle{ \sqrt{5}s}\), więc musisz wpierw dokonać podstawienia \(\displaystyle{ t=\sqrt{5}s}\), aby móc z powyższego wzoru skorzystać.

[gienia]

Dzięki, mam jeszcze policzyć \(\displaystyle{ Z_2=X-Y}\).

Liczę najpierw \(\displaystyle{ f_{-Y}(y)}\).

\(\displaystyle{ f_{-Y}(y)=-\frac{1}{4 \sqrt{ \pi } } e^{-(-y)^2/16}=-f_{Y}(y)}\)

Czyli wychodzi mi, że \(\displaystyle{ f_{Z_2}(z)=f_{X-Y}(z)=- \int_{\mathbb{R}}^{} f_X(s)f_Y(z-s)ds=-f_Z(z)}\)

A w odpowiedzi jest, że \(\displaystyle{ f_{Z_2}(z)=f_Z(z)}\)

[Nakahed90]

Gęstość nie może być ujemna, a \(\displaystyle{ -f_{Y}(y)}\) przyjmuje wartości ujemne, więc nie może być gęstością pewnej zmiennej losowej. Ponadto trochę inaczej wygląda postać gęstości zmiennej losowej -Y, tzn:

\(\displaystyle{ (\forall y)(f_{-Y}(y)=f_{Y}(-y))}\)

Wynika to stąd, że:
\(\displaystyle{ F_{-Y}(y)=P(-Y\le y)=P(Y\ge -y)=1-P(Y\le -y)=1-F_{Y}(-y)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ f_{-Y}(y)=(F_{-Y}(y))'_{y}=...}\)