funkcja zmiennej dwuwymiarowej o rozkładzie normalnym

[gienia]

Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) o rozkładzie normalnym
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2\pi}e^{ -\frac{1}{2}(2x^2-2xy+y^2) }}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Z=X-Y.

W rozwiązaniu mam, że trzeba podstawić \(\displaystyle{ y=x-z}\) i wychodzi \(\displaystyle{ f_Z(z)= \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{1}{2\pi}e^{ -\frac{1}{2}(x^2+z^2) }dx}\)

Nie do końca wiem, co tu się stało. Splotem się liczy, jak są dwie niezależne zmienne, tak? A jak mam jakąś funkcję od dwóch zmiennych, to sobie robię jakieś podstawienie, żeby się pozbyć jednej i włożyć do całki tą, którą potrzebuję i liczę jej gęstość brzegową, tak?

[Nakahed90]

Oznaczmy \(\displaystyle{ Z=X-Y}\), wówczas:
\(\displaystyle{ F_{Z}(z)=P(Z\le z)=P(X-Y\le z)=\iint_{D}f_{(X,Y)}(x,y)dydx=I}\), gdzie \(\displaystyle{ D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 :x-y\le z\}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 :y\ge x-z\}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ I=\int_{\infty}^{\infty}\int_{x-z}^{\infty} f_{(X,Y)}(x,y)dydx}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ f_{Z}(z)=(F_{Z}(z))'_{z}=...}\)

[Igor V]

Można też chyba szybciej skorzystać z tego że jest to przekształcenie liniowe postaci :
\(\displaystyle{ AX+b \rightarrow (AM+b,ACA ^{T})}\)

[gienia]

\(\displaystyle{ (\int_{\infty}^{\infty}\int_{x-z}^{\infty} f_{(X,Y)}(x,y)dydx)'_z}\)

Jak takie coś się liczy, jak mam zmienną, po której chcę całkować w granicach?

[Nakahed90]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawowe_twierdzenie_rachunku_całkowego

Oczywiście trzeba je lekko zmodyfikować na potrzeby zadania, ale różniczkowanie takiej całki wynika z w/w twierdzenia.

Albo

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Leibniza_(o_różniczkowaniu_pod_znakiem_całki)