funkcje zmiennych losowych, znaleźć gęstość

[gienia]

X, Y - niezależne zmienne losowe o rozkładach jednostajnych na \(\displaystyle{ (0,1)}\).
Znaleźć rozkład Z.

\(\displaystyle{ Z= \frac{1}{2} (X+Y)}\).
\(\displaystyle{ f_{ \frac{X}{2} }(x)=2, x \in (0,\frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ f_{ \frac{Y}{2} }(y)=2, y \in (0,\frac{1}{2})}\)

\(\displaystyle{ f_{\frac{1}{2} (X+Y)}(z)= \begin{cases} 0, z<0\\ \int_{0}^{z}f_{ \frac{X}{2} }(s)f_{ \frac{Y}{2} }(z-s)ds=4z, z \in (0,\frac{1}{2}) \\ 0, z>\frac{1}{2} \end{cases}}\)

Chciałam tak, a w odpowiedzi jest jeszcze dla przedziału \(\displaystyle{ (\frac{1}{2},1)}\) gęstość równa \(\displaystyle{ 4(1-z)}\). Dlaczego tak? \(\displaystyle{ f_{ \frac{X}{2} }(s)}\) jest wtedy równa zero, to dlaczego ta całka nie jest zero?

[Nakahed90]

Wróćmy do definicji splotu, wynika nam z niej, że:
\(\displaystyle{ f_{\frac{1}{2}(X+Y)}(z)=\int_{\mathbb{R}}f_{\frac{X}{2}}(s)f_{\frac{Y}{2}}(z-s)ds}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ s\le 0}\) i \(\displaystyle{ s\ge \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ f_{\frac{X}{2}}(s)=0}\), zatem całka na tych przedziałach znika. Stąd oraz z faktu, że \(\displaystyle{ f_{\frac{X}{2}}(s)=2}\) dla \(\displaystyle{ s\in (0,\frac{1}{2})}\) mamy:

\(\displaystyle{ f_{\frac{1}{2}(X+Y)}(z)=\int_{0}^{\frac{1}{2}}2 f_{\frac{Y}{2}}(z-s)ds}\)

Te przypadki o których wspomniałaś biorą się stąd że w zależność od z, różne postać przyjmie \(\displaystyle{ f_{\frac{Y}{2}}(z-s)}\) i na podstawie tego spróbuj jeszcze raz przeprowadzić analizę (pierwsze dwa przypadku, nie licząc braku domknięcia w \(\displaystyle{ z=0}\), są ok).

[gienia]

Czyli dla \(\displaystyle{ z \in ( \frac{1}{2},1)}\) będzie \(\displaystyle{ f_{\frac{1}{2}(X+Y)}(z)=\int_{z-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}2 f_{\frac{Y}{2}}(z-s)ds}\)?

[Nakahed90]

Tak, a nawet więcej, gdyż dla takiego z, gęstość \(\displaystyle{ \frac{Y}{2}}\) jest stała na przedziale całkowania.

Nie zapominaj o domknięciu, tak aby gęstość była określona na całej prostej.

[gienia]

Mam podobne zadanie i znowu nie umiem:

Dane są dwie niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) o gęstościach odpowiednio:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0, |x|>1\\ \frac{1}{2}, |x| \le 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} 0, |x|>2\\ \frac{1}{4}, |x| \le 2 \end{cases}}\)

Znaleźć rozkład \(\displaystyle{ Z=X+Y}\)

\(\displaystyle{ f_Z(z)= \int_{- \infty }^{ \infty } f(s)g(z-s)ds=\frac{1}{2} \int_{-1}^{ 1} g(z-s)ds}\)

Widzę, że dla \(\displaystyle{ z \le -3}\) i \(\displaystyle{ z>3}\) gęstość będzie zero, ale nie wiem jak mam te pozostałe gęstości wyznaczać (znaczy granice całkowania).

[Nakahed90]

Przypadki \(\displaystyle{ z\le -3}\) oraz \(\displaystyle{ z\ge 3}\) mamy już wykluczone.

Gęstość g będzie niezerowa jeśli \(\displaystyle{ -2 \le z-s \le 2}\). Stąd:
\(\displaystyle{ z-s \ge -2 \\ z-s\le 2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ s\le z+2 \\ s\ge z-2}\)
Musimy mieć też na uwadze, że \(\displaystyle{ s\in [-1,1]}\). Musimy zatem rozważyć przypadki (w zależności od z, różnie będzie się zachowywał przedział całkowania, gdyż łącząc oba ograniczenia całkujemy po zbiorze \(\displaystyle{ [-1,1]\cap [z-2,z+2]}\)):

\(\displaystyle{ 1^{\circ} \ z\in (-3,-1]}\), wówczas:
\(\displaystyle{ z-2 \le -1}\) oraz
\(\displaystyle{ -1\le z+2 \le 1}\)
Co oznacza, że:
\(\displaystyle{ [-1,1]\cap [z-2,z+2]=[-1,z+2]}\)

Pozostałe przypadki postaraj się przeanalizować sama (analiza ich będzie przebiegać podobnie)