funkcje zmiennych losowych wielowymiarowych

[gienia]

Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda ma rozkład normalny N(0,1). Niech X, Y będą współrzędnymi punktu na płaszczyźnie oraz \(\displaystyle{ R^2=X^2+Y^2}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ R^2}\).

Najpierw chciałam policzyć rozkład \(\displaystyle{ X^2}\).
\(\displaystyle{ f_{X^2}(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x}} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }e^{- \frac{1}{2}x } }}\) i tu już mam gdzieś błąd, bo w rozwiązaniu jest \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }e^{- \frac{1}{2}x } }}\).

\(\displaystyle{ f_{Y^2}(y)}\) będzie tak samo, tylko nie wiem jak potem policzyć \(\displaystyle{ f_{X^2+Y^2}(x,y)}\).

[Nakahed90]

Pokaż jak liczysz-sprawdzimy to. A co do rozkładu sumy to ja bym próbował to ze splotu liczyć. Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ X^2}\) oraz \(\displaystyle{ Y^2}\) mają rozkład gamma, więc rozkład sumy (w tym przypadku) można łatwo określić (np. z postaci funkcji generującej momenty).

PS. \(\displaystyle{ R^2 \sim\chi^{2}_{2}}\)

[gienia]

Tak liczyłam:

\(\displaystyle{ Z=X^2}\)

\(\displaystyle{ f_Z(z)= (\sqrt{z})' \cdot f_{X}( \sqrt{z})=\frac{1}{2 \sqrt{z}} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }e^{- \frac{1}{2}z } }}\)

[Nakahed90]

To tak nie idzie.

Jeżeli \(\displaystyle{ t \le 0}\), to \(\displaystyle{ f_{X^2}(t)=0}\).
Weźmy zatem \(\displaystyle{ t>0}\), wówczas:
\(\displaystyle{ F_{X^2}(t)=P(X^2 \le t)=P(-\sqrt{t}\le X \le \sqrt{t})=F_{X}(\sqrt{t})-F_{X}(-\sqrt{t})=F_{X}(\sqrt{t})-(1-F_{X}(\sqrt{t}))=2F_{X}(\sqrt{t})-1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ f_{X^2}(t)=(F_{X^2}(t))'_{t}=...}\)

[gienia]

Kurczę, bo taki wzór mam: \(\displaystyle{ Y=g(X)}\), \(\displaystyle{ h}\) jest przekształceniem odwrotnym do \(\displaystyle{ g(X)}\), to \(\displaystyle{ f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|}\)

Dlaczego mi to tutaj nie zadziałało?

[Nakahed90]

W tym twierdzeniu wymaga się monotoniczności funkcji g.

[gienia]

A wracając do tego splotu, to próbowałam coś zrozumieć, ale niewiele zrozumiałam jak czytałam na wikipedii. Do dodawania funkcji też się go używa? Bo tam to wyglądało, jakby było mnożenie.

[Nakahed90]

Prawdziwe jest następujące twierdzenie:
Jeżeli \(\displaystyle{ U, \ V}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach \(\displaystyle{ f_{U}, \ f_{V}}\), to:
\(\displaystyle{ f_{U+V}=f_{U} \ast f_{V}}\)

PS. Sposób ten może być kłopotliwy rachunkowo, więc jeżeli nie masz narzuconej metody to ten z rozkładem gamma będzie szybszy.

[gienia]

Nie wiem jak mam z tym rozkładem gamma zrobić. Funkcja generująca momenty ma taki wzór: \(\displaystyle{ E(e^{tx})}\), i co mam z nią zrobić? Nie wiem w ogóle jak rozkład sumy zmiennych się liczy.

[Nakahed90]

Twierdzenie (prawdziwe także dla sum skończonych):
Jeżeli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to:
\(\displaystyle{ M_{X+Y}(\cdot)=M_{X}(\cdot)\cdot M_{Y}(\cdot)}\)

Funkcja generująca momenty rozkładu \(\displaystyle{ \Gamma (\alpha, \beta)}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ M(t)=(1-\frac{t}{\beta})^{-\alpha}}\) dla \(\displaystyle{ t<\beta}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ X^2, Y^2 \sim \Gamma (\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\). Ponadto zmienne losowe \(\displaystyle{ X^2, \ Y^2}\) są niezależne (gdyż zmienne losowe X, Y takowe były). Zatem, dla \(\displaystyle{ t<\frac{1}{2}}\):
\(\displaystyle{ M_{X^2+Y^2}(t)=M_{X^2}(t)\cdot M_{Y^2}(t)=(1-\frac{t}{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}}\cdot (1-\frac{t}{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}}= (1-\frac{t}{\frac{1}{2}})^{-1}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ X^2+Y^2\sim \Gamma (1,\frac{1}{2})}\)

Można też się powołać na następujące twierdzenie (dowodzi się go za pomocą postaci funkcji generującej momenty):
Jeżeli \(\displaystyle{ X_{1}, \ ..., X_{n}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach \(\displaystyle{ \Gamma(\alpha_{1},\beta), \ ...,\Gamma(\alpha_{n},\beta)}\), to:
\(\displaystyle{ X_{1}+...+X_{n}\sim \Gamma (\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k},\beta)}\)

PS. Rozkład \(\displaystyle{ \Gamma (1,\frac{1}{2})}\) to jest to samo co \(\displaystyle{ \chi^{2}_{2}}\)

[gienia]

Dziękuję!
Od razu patrzyłam sobie na rozwiązanie z książki, tam chyba tym splotem to rozwiązują, i jest tak:

\(\displaystyle{ f_{R^2}(r)=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{r} \frac{1}{ \sqrt{x}} e^{- \frac{1}{2}x } \frac{1}{ \sqrt{r-x} }dx= \frac{1}{2\pi} e^{- \frac{1}{2}r } \int_{0}^{r} \frac{dx}{ \sqrt{x(r-x)} }dx= \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2}r }}\)

Dlaczego ta całka jest do r, a nie do nieskończoności?

[Nakahed90]

Z postaci funkcji gęstości dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ X^2, \ Y^2}\) wynika, że:
Jeżeli \(\displaystyle{ t\le 0}\), to \(\displaystyle{ f_{X^2}(t)=f_{Y^2}(t)=0}\).

Przypomnijmy postać splotu:
\(\displaystyle{ (f_{X^2}\ast f_{Y^2})(r)=\int_{\mathbb{R}}f_{X^2}(s)f_{Y^2}(r-s)ds}\)

Zauważmy, że:
-jeżeli \(\displaystyle{ s\le 0}\), to \(\displaystyle{ f_{X^2}(s)=0}\), czyli całka na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, 0]}\) znika
-jeżeli \(\displaystyle{ r-s\le 0}\), równoważnie \(\displaystyle{ s\ge r}\), to \(\displaystyle{ f_{Y^2}(r-s)=0}\), czyli całka na przedziale \(\displaystyle{ [r,infty)}\) znika

[gienia]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{r} \frac{dx}{ \sqrt{x(r-x)} }dx}\)

Jeszcze nie wiem jak policzyć tę całkę

[Nakahed90]

III podstawienie Eulera (na jakiś prostszy sposób nie mam pomysłu):
\(\displaystyle{ \sqrt{x(r-x)}=tx}\)