W książce Fellera ,,Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa' jest takie zadanie:
Trzej gracze a,b i c grają kolejno w jakąś grę zgodnie z następującymi warunkami. Na początku a gra z b podczas gdy c pauzuje. Grzecz przegrywający jest zastąpiony przez c; tak więc przy drugiej grze c gra ze zwycięzcą pierwszej gry, podczas gdy pozostały gracz czeka. Proces ten kontynuowany jest do chwili, gdy któryś z graczy wygra dwa razy z rzędu, stając się w ten sposób zwycięzcą całej gry. Zaniedbujemy możliwość remisu
Jakie jest prawdopodobieństwo, że gra nie zakończy się przed k-tą próbą?Moje rozwiązanie:
są możliwe takie sekwencje gier
aa, abb, abcc, abcaa, abcabb, ...
bb, bcc, bcaa, bcabb, bcabaa, ...
Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p_k}\), że gra zajęła \(\displaystyle{ k}\) prób wynosi
\(\displaystyle{ p_k=\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{k-1}}}\)
To, że gra nie zakończy się przed k-tą próbą jest sumą prawdopodobieństwa, że gra zakończy się na k-tej lub późniejszej próbie, więc
\(\displaystyle{ \sum_{i=k}^\infty p_k=\sum_{i=k}^\infty\frac{1}{2^{i-1}}=\frac{\frac{1}{2^{k-1}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2^{k-2}}}\)
i to jest moja odpowiedź. W księżce jest jednak \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{k-1}}}\) Kto popełnił błąd?
