\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\frac{2}{\pi k \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{k^{2}}}}}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le k}\),
czyli dąży do \(\displaystyle{ \infty}\) dla \(\displaystyle{ x \rightarrow k}\), co oznacza, że najwięcej wody spadło na obszar najbardziej oddalony od zraszacza.
Jeżeli założymy, że wynik jest poprawny, to dlaczego tak jest? Dlaczego więcej wody nie spadnie bliżej zraszacza, skoro np. dla kątów \(\displaystyle{ \theta = 30^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \theta = 60^{\circ}}\) krople spadają w to samo miejsce?
-- 13 sie 2015, o 16:09 --EDIT: Już wiem (jakby co).Główka zraszacza obraca się tam i z powrotem w taki sposób, że krople wody wylatują z niej pod kątem od \(\displaystyle{ 0^{\circ}}\) do \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\). Ogrodniczka chce wiedzieć czy jej trawnik jest równomiernie podlewany, a jeżeli nie jest, to gdzie znajdują się (bardziej) mokre i (bardziej) suche obszary.
Niech \(\displaystyle{ \theta}\) będzie kątem, pod którym kropla wylatuje z główki zraszacza, a \(\displaystyle{ x}\) będzie odległością między główką zraszacza a miejscem, w którym spadła kropla.
Przyjmujemy, że jeżeli cząstka zostaje wyrzucona z początku układu współrzędnych pod kątem \(\displaystyle{ \theta}\), w momencie \(\displaystyle{ t=0}\), to jej położenie w chwili \(\displaystyle{ t}\) wyraża się następującymi równaniami parametrycznymi:
\(\displaystyle{ x= v_{0} t cos \theta}\)
\(\displaystyle{ y= v_{0} t sin \theta - g t}\),
gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest stałą grawitacji, a \(\displaystyle{ v_{0}}\) jest początkową prędkością kropli (nadaną przez zraszacz).
Stąd mamy, że kropla spadnie w miejscu \(\displaystyle{ x = k sin 2 \theta}\), gdzie \(\displaystyle{ k = \frac{v_{0}^{2}}{g}}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \Theta}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{\pi}{2}\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ X = k sin 2 \Theta}\), gdzie k jest ustaloną dodatnią stałą.
Znaleźć rozkład \(\displaystyle{ X}\).