Funkcja zmiennej losowej - zraszacz

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Na_ten_czas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 30 paź 2012, o 17:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 5 razy

Funkcja zmiennej losowej - zraszacz

Post autor: Na_ten_czas »

Dzień dobry, natknąłem się na pewne zadanie (treść poniżej). Po rozwiązaniu go, gestość \(\displaystyle{ X}\) wychodzi:

\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\frac{2}{\pi k \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{k^{2}}}}}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le k}\),

czyli dąży do \(\displaystyle{ \infty}\) dla \(\displaystyle{ x \rightarrow k}\), co oznacza, że najwięcej wody spadło na obszar najbardziej oddalony od zraszacza.

Jeżeli założymy, że wynik jest poprawny, to dlaczego tak jest? Dlaczego więcej wody nie spadnie bliżej zraszacza, skoro np. dla kątów \(\displaystyle{ \theta = 30^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \theta = 60^{\circ}}\) krople spadają w to samo miejsce?
Główka zraszacza obraca się tam i z powrotem w taki sposób, że krople wody wylatują z niej pod kątem od \(\displaystyle{ 0^{\circ}}\) do \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\). Ogrodniczka chce wiedzieć czy jej trawnik jest równomiernie podlewany, a jeżeli nie jest, to gdzie znajdują się (bardziej) mokre i (bardziej) suche obszary.

Niech \(\displaystyle{ \theta}\) będzie kątem, pod którym kropla wylatuje z główki zraszacza, a \(\displaystyle{ x}\) będzie odległością między główką zraszacza a miejscem, w którym spadła kropla.

Przyjmujemy, że jeżeli cząstka zostaje wyrzucona z początku układu współrzędnych pod kątem \(\displaystyle{ \theta}\), w momencie \(\displaystyle{ t=0}\), to jej położenie w chwili \(\displaystyle{ t}\) wyraża się następującymi równaniami parametrycznymi:

\(\displaystyle{ x= v_{0} t cos \theta}\)
\(\displaystyle{ y= v_{0} t sin \theta - g t}\),

gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest stałą grawitacji, a \(\displaystyle{ v_{0}}\) jest początkową prędkością kropli (nadaną przez zraszacz).

Stąd mamy, że kropla spadnie w miejscu \(\displaystyle{ x = k sin 2 \theta}\), gdzie \(\displaystyle{ k = \frac{v_{0}^{2}}{g}}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \Theta}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{\pi}{2}\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ X = k sin 2 \Theta}\), gdzie k jest ustaloną dodatnią stałą.

Znaleźć rozkład \(\displaystyle{ X}\).
-- 13 sie 2015, o 16:09 --EDIT: Już wiem (jakby co).
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Funkcja zmiennej losowej - zraszacz

Post autor: SlotaWoj »

Na_ten_czas pisze:\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\frac{2}{\pi k \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{k^{2}}}}}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le k}\)
Mam wątpliwości, czy ten wzór na gęstość rozkłady jest poprawny. Proszę o wyprowadzenie.
Na_ten_czas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 30 paź 2012, o 17:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 5 razy

Funkcja zmiennej losowej - zraszacz

Post autor: Na_ten_czas »

\(\displaystyle{ 0 \le X \le k}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) lub \(\displaystyle{ x>k}\)

Dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le k}\):

(1) \(\displaystyle{ f(x)=f(\theta_{1}) \cdot \left| \frac{d\theta_{1}}{dx} \right| + f(\theta_{2}) \cdot \left| \frac{d\theta_{2}}{dx} \right|}\) (wykres jest symetryczny),

gdzie \(\displaystyle{ \theta_{1}}\) i \(\displaystyle{ \theta_{2}}\) są odciętymi punktów przecięcia się wykresu funkcji \(\displaystyle{ X=ksin2\Theta}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ x}\).

Wyznaczamy \(\displaystyle{ \theta_{1}}\) i \(\displaystyle{ \theta_{2}}\):

\(\displaystyle{ sin2\theta_{1}=\frac{x}_{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le2\theta_{1}\le\pi/2}\)
\(\displaystyle{ \theta_{1}=\frac{1}{2}\arcsin\frac{x}{k}}\) oraz przez symetrię:
\(\displaystyle{ \theta_{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\arcsin\frac{x}{k}}\)

\(\displaystyle{ \Theta \sim U(0;\frac{\pi}{2}) \Rightarrow f(\theta_{1})=\frac{2}{\pi}}\) oraz \(\displaystyle{ f(\theta_{2})=\frac{2}{\pi}}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ \left| \frac{d\theta_{1}}{dx} \right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \frac{d\theta_{2}}{dx}\right|}\):

\(\displaystyle{ \left| \frac{d\theta_{1}}{dx} \right| = \frac{1}{2k\sqrt{1-(\frac{x}{k})^{2}}}}\)
\(\displaystyle{ \left| \frac{d\theta_{2}}{dx} \right| = -\frac{1}{2k\sqrt{1-(\frac{x}{k})^{2}}}}\)

Następnie podstawiamy do wzoru (1).
ODPOWIEDZ