wariancja iloczynu i iloczyn wariancji

[gienia]

Kiedy \(\displaystyle{ Var(XY)=Var(X)Var(Y)}\)?

\(\displaystyle{ V(XY)=EX^2EY^2-(EX)^2(EY)^2}\)

\(\displaystyle{ V(X)V(Y)=EX^2EY^2-(EX)^2EY^2-EX^2(EY)^2+(EX)^2(EY)^2}\)

\(\displaystyle{ V(XY)=V(X)V(Y) \Rightarrow -2(EX)^2(EY)^2+(EX)^2EY^2+EX^2(EY)^2=0
\Rightarrow (EX)^2(EY^2-(EY)^2)+(EY)^2(EX^2-(EX)^2)=0
\Rightarrow (EX)^2V(Y)+(EY)^2V(X)=0}\)

I nie wiem, co z tego wynika, a odpowiedź jest, że \(\displaystyle{ E(X)=E(Y)=0}\).

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ V(XY)=EX^2EY^2-(EX)^2(EY)^2}\)

Prawdziwe tylko dla niezależnych zmiennych losowych, a wcześniej nic nie jest wspomniane, że ograniczamy się tylko do takowych zmiennych losowych.

[gienia]

Przepraszam, nie dopisałam, w poleceniu jest, że są niezależne

[Nakahed90]

Po przekształceniach doszłaś do tego, że:
\(\displaystyle{ (EX)^2 V(Y)+(EY)^2 V(X)=0}\)
Jako, że oba składniki po lewej stronie są nieujemne, to:
\(\displaystyle{ (EX)^2 V(Y)=0 \wedge (EY)^2 V(X)=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ (EX=0 \vee V(Y)=0) \wedge (EY=0 \vee V(X)=0)}\)
Korzystając z praw rachunku zdań dostajemy ostatecznie, że:
\(\displaystyle{ (EX=0 \wedge EY=0) \vee (EX=0 \wedge V(X)=0) \vee (V(Y)=0 \wedge E(Y)=0 ) \vee (V(X) \wedge V(Y)=0)}\)

Zauważmy, że ostatnie trzy przypadki możemy uprościć trochę:
\(\displaystyle{ EX=0 \wedge V(X)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X=0 \ p.w.}\)
\(\displaystyle{ EY=0 \wedge V(Y)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ Y=0 \ p.w.}\)
\(\displaystyle{ V(X) \wedge V(Y)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X=a \ p.w. \wedge Y=b \ p.w.}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\)

[gienia]

\(\displaystyle{ (EX)^2 V(Y)+(EY)^2 V(X)=0}\)
Jako, że oba składniki po lewej stronie są nieujemne, to:

Czyli że wariancja jest zawsze nieujemna?

[Nakahed90]

Tak, przecież wariancja to wartości oczekiwana z kwadratu.

[gienia]

No tak.

A dlaczego jest tak:

\(\displaystyle{ V(X) \wedge V(Y)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X=a \ p.w. \wedge Y=b \ p.w.}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\)

?

[Nakahed90]

Własność wariancji:
\(\displaystyle{ V(Z)=0 \iff Z=a \ p.w.}\)

PS. Teraz zauważyłem, że tam drobna luka się wdała. Zamiast tego co napisałaś powinno być:
\(\displaystyle{ V(X)=0 \wedge V(Y)=0}\)