wariancja iloczynu i iloczyn wariancji
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
wariancja iloczynu i iloczyn wariancji
Kiedy \(\displaystyle{ Var(XY)=Var(X)Var(Y)}\)?
\(\displaystyle{ V(XY)=EX^2EY^2-(EX)^2(EY)^2}\)
\(\displaystyle{ V(X)V(Y)=EX^2EY^2-(EX)^2EY^2-EX^2(EY)^2+(EX)^2(EY)^2}\)
\(\displaystyle{ V(XY)=V(X)V(Y) \Rightarrow -2(EX)^2(EY)^2+(EX)^2EY^2+EX^2(EY)^2=0
\Rightarrow (EX)^2(EY^2-(EY)^2)+(EY)^2(EX^2-(EX)^2)=0
\Rightarrow (EX)^2V(Y)+(EY)^2V(X)=0}\)
I nie wiem, co z tego wynika, a odpowiedź jest, że \(\displaystyle{ E(X)=E(Y)=0}\).
\(\displaystyle{ V(XY)=EX^2EY^2-(EX)^2(EY)^2}\)
\(\displaystyle{ V(X)V(Y)=EX^2EY^2-(EX)^2EY^2-EX^2(EY)^2+(EX)^2(EY)^2}\)
\(\displaystyle{ V(XY)=V(X)V(Y) \Rightarrow -2(EX)^2(EY)^2+(EX)^2EY^2+EX^2(EY)^2=0
\Rightarrow (EX)^2(EY^2-(EY)^2)+(EY)^2(EX^2-(EX)^2)=0
\Rightarrow (EX)^2V(Y)+(EY)^2V(X)=0}\)
I nie wiem, co z tego wynika, a odpowiedź jest, że \(\displaystyle{ E(X)=E(Y)=0}\).
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
wariancja iloczynu i iloczyn wariancji
Prawdziwe tylko dla niezależnych zmiennych losowych, a wcześniej nic nie jest wspomniane, że ograniczamy się tylko do takowych zmiennych losowych.gienia pisze: \(\displaystyle{ V(XY)=EX^2EY^2-(EX)^2(EY)^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
wariancja iloczynu i iloczyn wariancji
Przepraszam, nie dopisałam, w poleceniu jest, że są niezależne
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
wariancja iloczynu i iloczyn wariancji
Po przekształceniach doszłaś do tego, że:
\(\displaystyle{ (EX)^2 V(Y)+(EY)^2 V(X)=0}\)
Jako, że oba składniki po lewej stronie są nieujemne, to:
\(\displaystyle{ (EX)^2 V(Y)=0 \wedge (EY)^2 V(X)=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ (EX=0 \vee V(Y)=0) \wedge (EY=0 \vee V(X)=0)}\)
Korzystając z praw rachunku zdań dostajemy ostatecznie, że:
\(\displaystyle{ (EX=0 \wedge EY=0) \vee (EX=0 \wedge V(X)=0) \vee (V(Y)=0 \wedge E(Y)=0 ) \vee (V(X) \wedge V(Y)=0)}\)
Zauważmy, że ostatnie trzy przypadki możemy uprościć trochę:
\(\displaystyle{ EX=0 \wedge V(X)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X=0 \ p.w.}\)
\(\displaystyle{ EY=0 \wedge V(Y)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ Y=0 \ p.w.}\)
\(\displaystyle{ V(X) \wedge V(Y)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X=a \ p.w. \wedge Y=b \ p.w.}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ (EX)^2 V(Y)+(EY)^2 V(X)=0}\)
Jako, że oba składniki po lewej stronie są nieujemne, to:
\(\displaystyle{ (EX)^2 V(Y)=0 \wedge (EY)^2 V(X)=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ (EX=0 \vee V(Y)=0) \wedge (EY=0 \vee V(X)=0)}\)
Korzystając z praw rachunku zdań dostajemy ostatecznie, że:
\(\displaystyle{ (EX=0 \wedge EY=0) \vee (EX=0 \wedge V(X)=0) \vee (V(Y)=0 \wedge E(Y)=0 ) \vee (V(X) \wedge V(Y)=0)}\)
Zauważmy, że ostatnie trzy przypadki możemy uprościć trochę:
\(\displaystyle{ EX=0 \wedge V(X)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X=0 \ p.w.}\)
\(\displaystyle{ EY=0 \wedge V(Y)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ Y=0 \ p.w.}\)
\(\displaystyle{ V(X) \wedge V(Y)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X=a \ p.w. \wedge Y=b \ p.w.}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
wariancja iloczynu i iloczyn wariancji
Czyli że wariancja jest zawsze nieujemna?Nakahed90 pisze: \(\displaystyle{ (EX)^2 V(Y)+(EY)^2 V(X)=0}\)
Jako, że oba składniki po lewej stronie są nieujemne, to:
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
wariancja iloczynu i iloczyn wariancji
No tak.
A dlaczego jest tak:
A dlaczego jest tak:
?Nakahed90 pisze: \(\displaystyle{ V(X) \wedge V(Y)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X=a \ p.w. \wedge Y=b \ p.w.}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\)
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
wariancja iloczynu i iloczyn wariancji
Własność wariancji:
\(\displaystyle{ V(Z)=0 \iff Z=a \ p.w.}\)
PS. Teraz zauważyłem, że tam drobna luka się wdała. Zamiast tego co napisałaś powinno być:
\(\displaystyle{ V(X)=0 \wedge V(Y)=0}\)
\(\displaystyle{ V(Z)=0 \iff Z=a \ p.w.}\)
PS. Teraz zauważyłem, że tam drobna luka się wdała. Zamiast tego co napisałaś powinno być:
\(\displaystyle{ V(X)=0 \wedge V(Y)=0}\)